分部積分法

分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導而來的。它的主要原理是將不易直接求結果的積分形式，轉化為等價的易求出結果的積分形式的。常用的分部積分的根據組成被積函式的基本函式類型，將分部積分的順序整理為口訣：“反對冪指三”。分別代指五類基本函式：反三角函式、對數函式、冪函式、指數函式、三角函式的積分。

基本介紹

• 中文名：分部積分法
• 外文名：Integration by parts
• 原理：乘積函式求微分法則的逆用
• 基本函式：五類基本函式
• 科目：高等數學
• 數學分支：數學分析原理
• 套用學科：數學

公式推導

分部積分法：設及是兩個關於的函式，各自具有連續導數及，且不定積分存在，按照乘積函式求微分法則，則有存在，且得分部積分公式如下

證明：由

或

對上式兩邊求不定積分，即得分部積分公式，也將其簡寫為

如果將和用微分形式寫出，則亦可得出

上兩式就把的積分轉化為的積分，即將複雜的被積函式簡單化。

例如，要求，則依分部積分法則，令

如此

則按上述公式有

四種典型模式

一般地，從要求的積分式中將湊成是容易的，但通常有原則可依，也就是說不當的分部變換不僅不會使被積分式得到精簡，而且可能會更麻煩。分部積分法最重要之處就在於準確地選取，因為一旦確定，則公式中右邊第二項中的也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取則要依的複雜程度決定，也就是說，選取的一定要使比之前的形式更簡單或更有利於求得積分。依照經驗，可以得到下面四種典型的模式。記憶模式口訣：反（函式）對（數函式）冪（函式）三（角函式）指（數函式）。

模式一

通過對求微分後，中的比更加簡潔，而與的類型相似或複雜程度相當。

例如，對於形如的不定積分（其中為次多項式），由於對多項式求微分可以降次，且三角函式或指函式的積分則較容易求得，所以可以令，而將另一個函式看成通過分部求得積分。

例如 求

首先，

對該式第二項再按此模式進行分部積分，得

故原式

模式二

通過對求微分使得它的類型與的類型相同或相近，然後將它們作為一個統一的函式來處理。例如對形如等的積分，總是令，則則為一個次的多項式，另一個函式（等）看成。通過分部積分，很容易求出不定積分。

例如，求

而該式第二項為

故原積分式

模式三

利用有些函式經一次或二次求微分後不變的性質，通過一次或二次分部積分後，使等式右端再次產生，只要它的係數不為1，就可以利用解方程的方法求出原積分。

例如，對於積分和

按法則對他們進行分部積分得

這樣，所求積分均由另一個積分所表示出來，將這兩式相加和相減（即解方程）得到所求積分表達式

以及

這兩個通用表達式就可以求出該類型的所有積分式，比如

模式四

對某些形如的不定積分，利用分部積分可降低的次數，求得遞推公式，然後再次利用遞推公式，求出。

例如，對於積分

當時，

當時，

而該式的第二項又可變換為

將其帶入上式，則得到

故

最後，得到統一的遞推關係式

定積分

與不定積分的分部積分法一樣，可得

簡寫為

例如

示例

例1：

例2：

回代即可得到的值。