Onsager變分原理

Onsager變分原理即變分原理，是物理學的一條基本原理，以變分法來表達。

根據科內利烏斯·蘭佐斯的說法，任何可以用變分原理來表達的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說成是埃爾米特的，描述了在埃爾米特變換下的不變數。

菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領試圖鑑識這類在一組變換下的不變數。在物理學的諾特定理中，一組變換的龐加萊群（現在廣義相對論中被稱為規範群）定義了在一組依賴於變分原理的變換下的對稱性，即作用原理。

基本介紹

• 中文名：Onsager變分原理
• 外文名：Variational principle
• 簡稱：變分原理
• 提出者：Lars Onsager

拉斯·昂薩格

拉斯·昂薩格（挪威語：Lars Onsager，1903年11月27日－1976年10月5日），挪威出生的美國化學家。他因發現非平衡態熱力學的一般關係，提出了倒易關係而獲得1968年諾貝爾化學獎。

拉斯·昂薩格1903年出生於挪威奧斯陸。1925年，他取得挪威理工學院化學工程學學位，並於同年前往當時歐洲物理化學研究的中心——瑞士蘇黎世聯邦理工學院從事電解質溶液的研究。1928年，昂薩格轉往美國，開始在霍普金斯大學擔任教職。1929年，由於教學成績欠佳，昂薩格被霍普金斯大學解聘，被迫前往布朗大學。他於1935年在耶魯大學完成博士論文並與1945年成為耶魯大學教授。1976年去世於佛羅里達州邁阿密。

變分法

變分法是處理泛函的數學領域，和處理函式的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函式的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函式：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的套用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，黎曼在調和函式中使用狄利克雷原理。

同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為普拉托問題。

具體請參見變分法。

實例

• 幾何光學中的費馬原理；
  
• 力學中的最小作用量原理，電磁理論，及量子力學；
  
• 根據史蒂芬·沃爾夫勒姆的說法，愛因斯坦場方程也涉及一個變分原理，作為愛因斯坦-希爾伯特作用量的約束。
  

量子力學中的變分原理

假設你想計算一個哈密頓量為H的體系的基態能量Egs，換句話說，已經知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛丁格方程來找出波函式，可以任意猜測一個歸一化的波函式，比如說φ，結果是根據猜測的波函式得到的哈密頓算符的期望值將會高於實際的基態能量。換言之：

這對於所猜測的任何φ都適用。

證明

任一個波函式φ都可以展開為哈密頓算符的實際本徵函式的線性組合（我們假定這些本徵函式是正交歸一的）：

那么，哈密頓算符的期望值是：

如果把替換成基態能量，從求和公式中提出來，那么等號變成大於等於號。亦即：

推廣

給定一個描述所研究的體系的哈密頓算符H和任意可歸一化的並帶有適當體系未知波函式參數的函式Ψ，我們定義泛函：

那么變分原理說明：，式中是該哈密頓算符的具有最低能量的本徵態（基態）。若且唯若確切地等同於研究體系的基態。

上述變分原理是變分法的基本原理，用於量子力學和量子化學來近似求解體系基態。

參見

• 作用原理
  
• 物理學史