線性組合

線性代數的基本概念之一.設α₁,α₂,…,α_e(e≥1)是域P上線性空間V中的有限個向量.若V中向量α可以表示為：α=k₁α₁+k₂α₂+…+k_eα_e(k_e∈P,e=1,2,…,s),則稱α是向量組α₁,α₂,…,α_e的一個線性組合,亦稱α可由向量組α₁,α₂,…,α_e線性表示或線性表出.例如,在三維線性空間P3中,向量α=(a₁,a₂,a₃)可由向量組α₁=(1,0,0),α₂=(0,1,0),α₁=(0,0,1)線性表出:α=a₁α₁+a₂α₂+a₃α₃.

基本介紹

• 中文名：線性組合
• 外文名：linear combination
• 所屬學科：數理科學
• 舉例：向量各自乘上一個標量後再相加
• 分類：標量、矢量（如向量）的線性組合

定義

定義一個包含k個實數變數的集合 ,且假設已知一個k個實數權重集合 。我們定義 。s變數是對變數x的加權線性”混合”。因此，將s定義為變數的線性組合。

可以將線性組合的概念推廣到矢量中。定義每個 是一個矢量，因此，它們的線性組合s也是一個矢量。當然．每個矢量必須有相同數量的元素。請注意，s的每個分量都是一個由被組合矢量的相對應元素構成的線性組合。

標量的線性組合

定義標量為2，4，1，5，權重為0.1，0.4，0.25，0.25。求其線性組合s。

解：線性組合

矢量的線性組合

向量的線性組合屬於矢量的線性組合，下面會詳細介紹。

定義矢量為[2 4 1 5]，[3 5 1 2]，[5 6 2 1]，[9 0 1 3]·權重為0.1，0.4，0.25，0.25。求其線性組合s。

解：線性組合

s的第一個元素是。

相應地，其他元素分別是3.9，1.25和2.3。因此。

向量組的線性組合

1.任一n維向量α= ,可由n維單位向量組 = , = ,......, = 線性表示，表達式為α= + +......+ .

2.設 , , ，…， 為一組n維向量．若存在一組數k₁,k₂,k₃,...,ks使得 =k₁ +k₂ +，…,+ks 為成立，則稱向量 是向量組 , ，…， 的線性組合,或稱向量 可由向量組 , ，…， 線性表示．