Lp空間

在數學中， Lp空間是由p次可積函式組成的空間；對應的lp空間是由 p次可和序列組成的空間。在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構成了Banach空間一類重要的例子。

套用

Lp空間在工程學領域的有限元分析中有套用。

當空間維度是無窮而且不可數的時候（沒有一個可數的基底），無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數，但對於可積函式空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來說，給定可測空間(S,Σ,μ)以及大於等於1的實數p，考慮所有從S到域（或）上的可測函式。考慮所有絕對值的p次冪在S可積的函式，也就是集合：

集合中的函式可以進行加法和數乘：

從不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，兩個p次可積函式的和，也是一個p次可積函式。另外，容易證明；閔可夫斯基不等式的積分形式說明三角不等式對成立。滿足這樣條件的構成一個半範數，令成為一個半賦范向量空間。之所以是半範數，是因為滿足的函式不一定是零函式。然而可以通過一套標準的拓撲方法從這個半賦范空間得到一個賦范空間：考慮中所有使得的函式的集合：

集合可以看作是映射的零空間。對可測函式來說，幾乎處處為零（在測度μ意義下）。所以

• 幾乎處處為0

而同時也是的一個子空間。設是關於的商空間。中的某個元素可以看作是所有和函式相差一個中元素的函式構成的等價類。這樣定義的空間是一個賦范向量空間，稱為S上函式關於測度μ的L空間。稱為函式的p-範數。

需要注意的是，L空間中的元素嚴格來說並不是具體的函式，而是一族函式構成的等價類。而當需要將L空間元素當作函式來計算的時候，參與計算的實際是從這一族函式中抽取的一個代表函式。

與序列空間一樣，在函式空間上也可以定義一致範數。定義的方法和範數一樣，首先定義：

• 幾乎處處小於等於

是一個半範數，取幾乎處處為0，則關於的商空間是一個賦范向量空間，記作。

一致範數與p-範數之間存在以下關係：

可以證明，L空間是完備的空間，也即是說是一個巴拿赫空間（完備賦范向量空間）。L空間的完備性通常被稱為里茲－費舍爾定理。具體的證明可以藉助測度上的勒貝格積分的相關收斂定理來完成。

特例

L空間都是巴拿赫空間，但只有當p= 2的時候，L空間是希爾伯特空間。也就是說，可以為L空間中的元素定義內積。具體形式是：

其中的表示複數的共軛。這個內積是從2-範數自然誘導的內積。L空間在傅立葉級數和量子力學以及其他領域有著重要的運用。

空間可以看作是L空間的特例。只要取L空間中的，測度為上的計數測度，則對應的就是空間。