速降函式空間

速降函式空間（Schwartz space）是數學中一類函式的總稱，也稱為施瓦茨空間，指的是當自變數的值趨向於無窮大時，函式值趨近0的速度“足夠快”的函式。速降函式空間的一個重要性質是傅立葉變換對於這個空間是一個自同構，也就是說，速降函式進行傅立葉變換之後仍然會是速降函式。這個性質使得可以對S的對偶空間中的元素，也就是緩增廣義函式，來定義其傅立葉變換。速降函式空間的別稱“施瓦茨空間”得名於法國數學家洛朗·施瓦茨，速降函式空間裡的函式也被稱為施瓦茨函式。

基本介紹

• 中文名：速降函式空間
• 外文名：Schwartz space
• 別稱：施瓦茨函式
• 分類：拓撲空間
• 套用：傅立葉變換

定義

歐幾里得空間上的速降函式空間是滿足以下條件的函式的集合：

其中 α, β 是多重指標，C∞() 是所有從射到C 的光滑函式。

其中sup符號指函式的最小上界，指多重指標下的導數。簡單來說，速降函式是指當時趨近於零的速度比所有的多項式的倒數都快，並且任意階的導數都有這種性質的函式。

例子

1、設 i 是一個多重指標，a 是一個正實數，那么

比如，高斯函式就是一個速降函式。這是因為對任意的多重指標 α, β

2、任意的緊支撐光滑函式f 都屬於，這是因為f 的所有的導函式乘以任意的都是緊支撐的，所以必然有界，也就是說在上有最大值。

3、如果一個光滑函式僅僅滿足自身乘以任意的都有界的話，這個函式不一定是速降函式。導函式也具有同樣的性質這一點是很重要的。例如函式

f自身乘以任何的都有界，但它的導數：

而是一個指數發散的函式，甚至不趨於零，當然不是速降函式。從而 也不是速降函式。

性質

1、是複數的弗雷歇空間。

2、如果f 是速降函式，那么在時一定趨於0。

3、速降函式空間中的元素乘以多項式之後仍然屬於。甚至只要函式u在時是某個多項式的等價無窮大，那么中的元素乘以 u 後仍在中。

4、根據微分的萊布尼茲法則，速降函式空間在函式乘法運算下封閉。也就是說，如果兩個函式 ，那么有 。這裡的乘積是點對點的意義。

5、對所有的，都有，其中Lp() 是所謂的Lp空間，也就是說所有在上p 次可積的函式的空間。

6、傅立葉變換是的一個線性自同構。