AdS/CFT對偶

在理論物理學中，AdS/CFT對偶（英語：AdS/CFT correspondence）又稱馬爾達西那對偶（英語：Maldacena duality）和規範/重力對偶（英語：gauge/gravity duality），全稱為反德西特/共形場論對偶（英語：Anti-de Sitter/Conformal Field Theory correspondence），是兩種物理理論間的假想聯繫。對偶的一邊是共形場論，是量子場論的一種，量子場論中還包括與描述基本粒子的楊-米爾斯理論相近的其他理論。而對偶的另一邊則是反德西特空間（AdS），是用於量子引力理論的空間。

基本介紹

• 中文名：AdS/CFT對偶
• 外文名：AdS/CFT correspondence
• 領域：量子力學
• 別稱：馬爾達西那對偶

簡介

此對偶代表著人類理解弦理論和量子引力的重大躍進。這是因為它為某些邊界條件的弦理論表述提供了非攝動表述。同時也因為它是全息原理最成功的展演，全息原理是量子引力的概念，最初由傑拉德·特·胡夫特提出，之後由李奧納特·薩斯坎德改良及提倡。

它亦為強耦合量子場論提供了強大的研究工具。此對偶的有用之處主要是在於它是一種強弱對偶；量子場論中的場有著很強的相互作用，而重力場的相互作用則很弱，因此在數學上也比較容易對付。所以在核物理與凝聚態物理學的研究中可以利用這對偶，將該領域的難題轉譯成數學上較易於對付的弦理論難題。

AdS/CFT對偶最早由胡安·馬爾達西那於1997年末提出。而對偶的重要方面則由另外兩篇論文詳述，一篇是由史蒂芬·格布瑟、伊戈爾·克列巴諾夫和亞歷山大·泊里雅科夫合著的，另一篇則是愛德華·威滕所撰寫。截至2015年，馬爾達西那的論文被超過10,000篇其他論文引用，名列高能物理領域引用次數的首位。

背景

量子引力與弦

主條目：量子引力和弦理論

人們現時對重力的理解，是基於阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論。於1915年成形的廣義相對論，是以時間與空間（即時空）的幾何來解釋重力的理論。它所用的語言是經典物理學，是由艾薩克·牛頓及詹姆斯·麥克斯韋等物理學家所開發的。而其他非重力的作用力則由量子力學的框架來解釋。量子力學是由二十世紀前半葉多位物理學家所開發的，用機率來描述物理現象，與之前的經典物理學完全不一樣。

探索如何使用量子力學原則來描述重力的物理學分支就是量子引力。現時，最受關注的量子引力手法是弦理論，弦理論不使用非零維的點粒子，而改用一維物體──弦來模擬基本粒子。AdS/CFT對偶的理論認為量子引力是從弦理論或其現代延伸M理論推導出來。

人們日常生活中所熟悉的空間有三維（上下、左右及前後），還有一維時間。因此用現代科學的語言，會說時空是四維的。弦理論和M理論有一個很奇怪的特點，就是時空需要額外的維度，用於維持數學上的一致性。時空在弦理論中有10維，而在M理論中則有11維。從弦理論或M理論中得出AdS/CFT等量子引力理論的過程，稱作緊緻化。緊緻化能夠減低理論的有效時空數，將多餘的維度“捲曲”成圓圈。

緊緻化可以通過考慮多維物件來解釋，如橡膠水管。如果從足夠距離外看橡膠水管的話，它看起來就只有一維，就是長度。然而，向水管靠近的話，就會發現它的第二維圓周。因此在橡膠水管中爬行的螞蟻能以二維方式移動。

量子場論

主條目：量子場論和共形場論

一些物體具有時間空間範圍，如電磁場等，而套用在這些物體上的量子力學就是量子場論。量子場論是粒子物理學研究基本粒子的基礎理論，而其中這些粒子是由基本場的激發所描述。而凝聚態物理學也會使用量子場論來模擬類似於粒子的準粒子。

使用AdS/CFT對偶時，除了要考慮量子引力理論外，還需要考慮某一種叫共形場論的量子場論。它是一種對稱性強且具有良態的量子場論。這種理論包括兩種套用，一是弦理論，用於描述弦傳播時所掃出的表面；二是統計力學，用於模擬熱力學臨界點。

對偶概述

反德西特空間的幾何

主條目：反德西特空間

在AdS/CFT對偶中要考慮的是在反德西特背景上的弦理論或M理論。亦即是說其空間幾何是由愛因斯坦方程的某種真空解所描述。

非常基本地來說，反德西特空間是一個數學模型，其中點與點間的距離概念（度規），與日常歐幾里德幾何中的距離概念不一樣。反德西特空間與雙曲空間有著密切的關係，而雙曲空間可用右圖的圓盤表示。右圖為由三角形和正方形所組成的密鋪。用某種方式可以為點間的距離下定義，使得所有三角形和正方形都是一樣大小的，並且圓周的外邊界與其內部任一點的距離為無限。

想像一疊雙曲圓盤，其中每一片圓盤代表某時間的宇宙態。而由此形成的幾何物體就是反德西特空間。它看起來像實心的圓柱體，其中每一片截面都是雙曲圓盤。下圖中時間以垂直方向行進。這圓柱體的表面在AdS/CFT對偶中有著重要的角色。反德西特空間跟雙曲圓盤一樣，它的彎曲方式使得內部任何一點與邊界面的距離為無限遠。

這樣的結構雖然描述了只有二維空間加一維時間的假想宇宙，但還是可推廣至適用於任何維數。雙曲空間實際上是可以超過二維的，把這些雙曲空間疊起來就能形成反德特空間的高維度模型。

AdS/CFT的觀點

反德西特空間的重要特點在於其邊界（三維德西特空間的邊界看起來像圓柱體）。這種邊界有一個特性，就是在任何點的局部範圍都和閔可夫斯基時空很像，而閔可夫斯基時空就是非重力物理所用的時空模型。

因此可以構建一套“時空”由反德西特空間邊界提供的輔助理論。而這項觀察正是AdS/CFT對偶的起點，因為AdS/CFT對偶把反德西特空間的邊界視為共形場論的“時空”。對偶主張共形場論相等於反德西特空間主體的重力理論，也就是說兩者可以像有“字典”的那樣將計算互相翻譯。一套理論中的每一件實體在另一套理論中都有對應的實體。比方說，重力理論中的單一粒子可能對應邊界理論中的某堆粒子。此外，兩套理論的量化預測也是一致的，例如說重力理論中兩個粒子碰撞的機率是40%，那么共形場論的對應粒子堆碰撞機率也會是40%。

要注意的是，反德西特空間邊界的維度比反德西特空間本身的要低。比方說，上文的三維例子，其邊界為二維表面。由於兩理論間的關係就像三維物件與全息圖形象的關係，所以AdS/CFT對偶是一種“全息對偶”。雖然全息圖是二維的，但是它儲存了所代表物體的三維信息編碼。AdS/CFT對偶也是一樣，雖然它所聯繫的兩套理論存在於不同維數的時空，但是對偶假定它們是完全相等的。共形場論就像是全息圖，捕捉了較高維數的量子引力理論信息。

對量子引力的套用

弦理論的非攝動表述

使用量子場論計算各種物理事件的機率時，一般需要用到攝動理論。攝動量子場論由理察·費曼及其他物理學家於二十世紀前半葉開發，這項理論使用費曼圖來整理計算。費曼圖所代表的是點粒子的路徑與相互作用。儘管這種體系對於預測而言非常有用，但是這些預測只能在相互作用強度（由耦合常數所描述）足夠小的時候才有效，即攝動理論只能描述弱到近乎不存在的相互作用。

弦理論的起點在於量子場論的點粒子可由一維的弦的所描述。弦的相互作用有著最直接的定義，可由量子場論的攝動理論推廣所得。若從費曼圖的視點出發，則意味著把代表點粒子路徑的一維圖，換成代表弦運動的二維表面（見右圖）。跟量子場論不同的是，弦理論並未有全面的非攝動定義，因此弦理論還是不能解答許多物理學家想問的問題。

研究AdS/CFT對偶的其中一個最初動機，就是解決開發弦理論非攝動表述這道難題。如上文所解釋，AdS/CFT對偶為量子場論的幾種例子提供了等價的反德西特空間弦理論。對於重力場為漸近反德西特的特例（即在無限遠時重力場類似於反德西特空間上的），這種對偶可被視為給出弦論的定義。弦理論中受關注的物理量的定義皆由對偶量子場論的物理量來定義。

黑洞信息佯謬

史蒂芬·霍金於1975年發表了一份計算，指出黑洞並非全黑，還是會射出暗淡輻射的，而成因則為事件視界附近的量子效應。由於起初霍金的結果指出黑洞會催毀信息，因此成了理論界的難題。霍金的計算更精確地來說是違反了一條量子力學的基本假想，即物理系統的時間演化需遵守薛丁格方程。這項特性一般被稱為時間演化的么正性。霍金的計算與量子力學么正性假想間的表面衝突，後來被稱為黑洞信息佯謬。

AdS/CFT對偶在某程度上成功解決了黑洞信息佯謬，因為它能表明黑洞的時間演化是如何能在某程度上遵行量子力學。用AdS/CFT對偶的內容來考慮黑洞是確實可行的，任何此類黑洞都對應一系列位處反德西特空間邊緣的粒子。這些粒子正常地遵從量子力學的規則，特別是么正性時間演化，因此黑洞也必須符合么正性時間演化，遵守量子力學的規則。霍金於2005年承認佯謬以AdS/CFT所得的信息守恆告終，並提出了一個黑洞是如何保存信息的具體可行機制。

歷史與開發

弦理論與核物理

主條目：1/N展開

物理學家在很早之前就已經著手研究弦理論與核物理間的關係，而AdS/CFT在1997年末的發現就是這方面長年所積累的成果。實際上，弦理論最初在1960年代末至1970年代初被提出時，是用於描述強子的，強子指的是由強相互作用牽引的次原子粒子，如質子和中子。弦理論把每一種的這些粒子視為弦的不同振盪模式。實驗物理學家在1960年代末就已經發現，強子符合某一類的雷吉軌跡，這種軌跡的能量平方與其角動量成正比；而後來理論物理學家則指出，從旋轉相對論性弦的物理中，會自然地出現如此的關係。

而另一方面，在把強子視作弦的嘗試中發現了多個嚴重的難題。其中一個就是弦理論中包括無質量且自旋為2的粒子，而在強子物理中尚未有對應的粒子。這樣的粒子所傳遞的力會有著重力的特性。喬爾·謝克和約翰·施瓦茨因此於1974年提出弦理論不是理論物理學家以為的核物理理論，而是量子引力理論。與此同時，物理學家發現了強子實際上是由夸克所組成的，因此他們放棄了用弦理論的手法研究強子，而改為採用量子色動力學。

夸克在量子色動力學中有一種荷具有三種類型，叫色荷。傑拉德·特·胡夫特於1974年的論文中，以近似量子色動力學的觀點來研究弦理論與核物理間的關係，當中所用的色荷數為N，而不是三。在這篇論文中，特·胡夫特考慮了當N趨向無限時的某個極限，並表明在這個極限時某些量子場論的計算與弦理論的計算類似。

黑洞與全息理論

史蒂芬·霍金於1975年發表了一份計算，指出黑洞並非全黑，還是會射出暗淡輻射的，而成因則為事件視界附近的量子效應。之前雅各布·貝肯斯坦在研究就指出過黑洞熵的定義良好，而霍金的研究正是這份研究的後續。霍金的結果最初看起來違反了量子力學的基本假想，即時間演進的么正性。么正性假想直覺上所說的是，量子系統並不會因為態與態之間的演進而將信息毀滅。因此，這項表面上旳衝突被稱為黑洞信息佯謬。

傑拉德·特·胡夫特在後來的1993年撰寫了一篇具猜想性的論文，其中以量子引力的觀點，重新檢視霍金的黑洞熱力學研究，結論為圍繞黑洞的時空自由度總數與視界的表面積成正比。這個概念被李奧納特·薩斯坎德改良及提倡，成就了現時的全息原理。全息原理及其通過AdS/CFT在弦理論中的實踐，不單對闡明由霍金的研究延伸出的黑洞奧秘有重大作用，而且也為黑洞信息佯謬提供了一個讓專家信服的可能解答。霍金於2004年承認黑洞確實不違反量子力學，他同時亦提出了一個黑洞是如何保存信息的具體可行機制。

馬爾達西那的論文

胡安·馬爾達西那於1997年末發表了一篇具里程碑意義的論文，就此觸發了AdS/CFT這一個研究領域。據亞歷山大·泊里雅科夫的說法，那篇論文就是“開啟水閘的研究”。這個猜想馬上就引發了弦理論研究界的濃厚興趣，不久後就有兩篇認真檢視這個對偶的論文，一篇史蒂芬·格布瑟、伊戈爾·克列巴諾夫和亞歷山大·泊里雅科夫合著，另一篇則由愛德華·威滕所撰寫的論文。這兩篇論文使得馬爾達西那的猜想更加明確，並成功證明了對偶中的共形場論是位於反德西特空間的邊界。

用化推廣

三維重力

為了能更清楚了解四維宇宙重力的量子效應，有些物理學家對於維度較低的數學模型做研究，其中有兩維空間及一維時間。描述重力場的數學在這樣的設定下變得簡單得多，這樣就可以使用熟悉的量子場論來研究量子引力，也就不需要出動弦理論或其他更尖端的手法來研究四維的量子引力。

始於J·D·布朗和馬克·昂諾在1986年的研究，物理學家意識到三維時空的量子引力與二維的共形場論有著密切的關係。昂諾與同事於1995年更仔細地研究這種關係時，提出反德西特空間的三維重力相等於一種叫劉維爾場論的共形場論。另一項由愛德華·維滕提出的假想指出，反德西特空間的三維重力相等於具怪獸群對稱的共形場論。這些假想就是AdS/CFT場論不需要全套弦理論或M理論的證據。

dS/CFT對偶

現今宇宙會以愈來愈快的速度膨脹，而反德西特空間則與現今宇宙不一樣──反德西特空間既不會膨脹，也不會收縮。它的大小在任何時間看起來都一樣。用較專門的術語來說，就是反德西特空間對應宇宙學常數為負的宇宙，而現今宇宙的宇宙學常數是一個微小的正數。

儘管在短距離上重力與宇宙學常數的值應該沒有很大的關聯，但是能讓AdS/CFT有一個宇宙學常數為正的版本還是一件好事。安德魯·斯特羅明格於2001年引入了對偶的新版本，叫dS/CFT對偶。這項對偶的時空模型叫德西特空間，其宇宙學常數為正。從宇宙學的觀點來看，由於許多宇宙學家認為極早期的宇宙與德西特空間相近，因此這樣的對偶是非常有意思的。現今宇宙在遙遠的未來也可能會與德西特空間類似。

克爾/CFT對偶

儘管AdS/CFT對於研究黑洞性質是有用的，但是大部分用AdS/CFT對偶所考慮的黑洞在物理上並不現實。實際上就如上文所解釋，大部分AdS/CFT的版本都需要用到帶非自然對稱的多維時空模型。

莫妮卡·桂卡（Monica Guica）、托馬斯·哈特曼（Thomas Hartman）、宋維（Wei Song）和安德魯·斯特羅明格於2009年成功證明AdS/CFT對偶還是可以用於研究天體物理學的黑洞。這項結果更精確地來說是可用於接近極值克爾黑洞的黑洞，這種黑洞的單位質量角動量是最大的。他們成功證明這種黑洞能用相等的共形場論表示。克爾/CFT對偶後來延伸到角動量較低的黑洞。

高自旋規範場論

AdS/CFT對偶與另一對偶有著密切的關係，那個對偶是由伊戈爾·克列巴諾夫和亞歷山大·泊里雅科夫於2002年所推測的。該對偶指出反德西特空間中的某“高自旋規範場論”相等於帶O(N)對稱的共形場論。這理論的本體是一種描述任意高自旋粒子的規範場論。它於弦理論相近，因為弦的激發態可對應高自旋粒子。因此該對偶可能有助於研究AdS/CFT對偶的弦理論版本，和甚至可能證明AdS/CFT對偶。西蒙尼·瓊比（Simone Giombi）和尹希（Xi Yin）於2010年透過計算三點函式獲得了更多該對偶的證據。