黎曼一羅赫定理

黎曼–羅赫定理（Riemann–Roch theorem）是數學中，特別是複分析和代數幾何，一個重要工具，它可計算具有指定零點與極點的亞純函式空間的維數。它將具有純拓撲虧格 g 的連通緊黎曼曲面上的複分析以某種方式可轉換為純代數設定。

此定理最初是黎曼不等式，對黎曼曲面的確定形式由黎曼早逝的學生古斯塔·羅赫於1850年代證明。隨後推廣到代數曲面，高維代數簇，等等。

基本介紹

• 中文名：黎曼–羅赫定理
• 外文名：Riemann–Roch theorem
• 套用學科：數學
• 所屬領域：複分析和代數幾何
• 套用：算有指定零極點亞純函式空間維數
• 相關術語：黎曼不等式

一些數據

我們從一個虧格g的連通緊黎曼曲面開始，在上面取定一點P。我們想知道極點只在P的函式。這是向量空間的一個遞增序列：沒有極點的函式（即常值函式），在P有單極點，在P點最多有兩個極點，三個極點……這些空間都是有限維的。在g=0 我們可知維數的序列前幾項為

• 1, 2, 3, ...:
  

這可由部分分式理論得出。反之，如果此序列開始為

• 1, 2, ...
  

則g必然是零（所謂黎曼球面）。

由橢圓函式理論知，g=1 時此序列是

• 1, 1, 2, 3, 4, 5 ...
  

且這也刻畫了g=1 情形。當g> 2 時，序列前端不是固定的；但我們可以確定此序列的後端。我們也可以看到為什麼g=2 的情形是特殊的，由超橢圓曲線理論，其序列開始幾項為

• 1, 1, 2, ...
  

這些結論為何具有這種形式可以追溯到此定理的表述（羅赫的部分）：兩個維數之差。當其中一個可以為零，我們得到一個確定的公式，對虧格與度數（即自由度的個數）是線性的。這些例子已經可重構出如下形式

• 維數 − 修正項 = 度數 −g+ 1。
  

對g= 1，修正項當度數為 0 時是 1；其它情形是 0。整個定理說明修正項是函式空間的一個“補空間”的維數。

定理的陳述

用現代記法，虧格為g的緊黎曼曲面與一個典範除子K的黎曼–羅赫定理表述為：

• l(D) −l(K−D) =deg(D) −g+ 1.
  

這對所有除子D均成立。除子是曲面上點的自由阿貝爾群中一個元素。等價地，一個除子是曲面上一些點的整係數線性組合。

我們定義一個亞純函式f的除子為

這裡R(f) 是所有零點與極點的集合，而s_ν定義為

	，如果 是一個 a 重零點；
	，如果是一個 a階極點。

我們類似地定義一個亞純1-形式的除子。一個整體亞純函式的除子叫做主除子。相差一個主除子的兩個除子稱為線性等價。一個整體亞純 1-形式的除子叫做典範除子（通常記作K）。任何兩個亞純 1-形式都是線性等價的，所以典範除子線上性等價的意義下是惟一的。

符號deg(D) 表示除子D的度數，即在D中出現的係數之和。可以證明一個整體亞純函式的除子的度數總是 0，所以除子的度數隻取決於線性等價類。

數l(D) 是首先感興趣的量：使得 (h) +D的所有係數都是非負的曲面上亞純函式h組成的向量空間的維數（在C上）。直覺上，我們可以將其想像為在每一點處的極點不比D中對應係數更壞的所有亞純函式；如果在z處D的係數是負數，則我們要求h在z處至少有那個重數的零點；如果D的係數是正數，h最多有那個階數的極點。線性等價的除子相應的向量空間通過乘以那個整體亞純函式（這在差一個常數下是良定義的）是自然同構的。

即便我們對K一無所知，我們知道特殊性指標（index of speciality）（上文所說的修正項）

• l(K−D) ≥ 0,
  

所以

• l(D) ≥deg(D) −g+ 1
  

這就是早先提到的黎曼不等式。

上面定理對所有緊連通黎曼曲面都成立。這個公式對一個代數閉域k上所有非奇異射影代數曲線也成立。這裡l(D) 表示在每一點的極點不坏於D中對應係數的曲線上有理函式空間的維數（在k上）。

為了將其與我們上面的例子聯繫起來，我們需要K的一些信息：對g=1 我們可取K=0，而對g=0 可取K= −2P（任何P）。一般地K的度數是 2g− 2。只要D的度數至少是 2g− 1 我們可確保修正項是 0。

回到g= 2 的情形我們可知上面提到的序列是

• 1, 1,?, 2, 3, ... .
  

由此知度數為 2 的不確定項是 1 或 2，當然與點的選擇有關。可以證明任何虧格為 2 的曲線恰有六個點的序列是 1, 1, 2, 2, ... 而其它一般點的序列是 1, 1, 1, 2, ...。特別地，一個虧格 2 曲線是超橢圓曲線。對g>2 幾乎所有點的序列以g+1個 1 開始，只有有限個點為其它序列（參見魏爾斯特拉斯點）。

推廣

曲線的黎曼–羅赫定理對黎曼曲面由黎曼與羅赫於1850年代證明，對代數曲線由施密特於1929年證明。它是基本的，曲線後續理論試圖加細它的結論（比如布里爾–諾特理論）。

在更高維（適當的定義除子或線叢）此定理有多個版本。它們的一般表述取決於將定理分成兩部分。其一，現在稱為塞爾對偶性，將l(K−D) 項解釋為第一層同調群的維數，l(D) 為零次上同調群（或截面的空間）的維數，定理左邊成為一個歐拉示性數，而右邊給出它的計算，正好只與黎曼曲面的拓撲有關的一個度數。

在二維代數幾何中這樣一個公式由義大利幾何學派找到；代數曲面的黎曼-羅赫定理證明了（有各種版本，最早可能屬於馬克斯·諾特。這樣的問題大約在1950年前解決了。

n-維推廣，希策布魯赫–黎曼–羅赫定理，由弗里德里希·希策布魯赫找到並證明，利用了代數拓撲學中的示性類；他深受小平邦彥的工作影響。大約在同一時間讓-皮埃爾·塞爾給出了塞爾對偶性的一般形式，故我們冠以他的姓氏。

亞歷山大·格羅滕迪克於1957年證明了一個深遠的推廣，現在叫做格羅滕迪克–黎曼–羅赫定理。他的工作將黎曼–羅赫重新解釋為不僅是關於一個簇的定理，而是關於兩個簇之間的一個態射的。證明的細節由博雷爾–塞爾於1958年發表。

最後在代數拓撲中也找到了一個一般版本。這些發展本質上在1950年至1960年完成。阿蒂亞–辛格指標定理開啟了這一條推廣的道路。

它導致的結論是一個凝聚層相當好計算。如果只對交錯和中一項感興趣，這是通常的情形，必需更進一步的討論比如消滅定理。