核型空間

核型空間(nuclear space)是一類局部凸空間。局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函pV(x)是E上的連續半範數。

基本介紹

• 中文名：核型空間
• 外文名：nuclear space
• 領域：數學
• 性質：局部凸空間
• 映射：核映射
• 提出者：格羅騰迪克

概念

核型空間是一類局部凸空間。局部凸空間X稱為核型空間，如果對零元的任何均衡凸鄰域V，存在另一零元的均衡凸鄰域U⊂V，使得典型映射T：X_V→X_U是核映射。這裡，X_U是商空間(X，P_U(·))/{x|P_U(x)=0}，而X_V是商空間(X，P_V(·))/{x|P_V(x)=0}的完備化空間，P_U(·)及P_V(·)是由U和V各自產生的閔科夫斯基泛函。巴拿赫空間為核型空間的充分必要條件是該空間為有限維的。核型空間在分析學中有非常重要的套用，是格羅騰迪克(Grothendieck，A.)於1955年首先引入的。

拓撲線性空間

拓撲線性空間是泛函分析的重要分支，又稱之為拓撲向量空間，它是具有拓撲結構的線性空間，是賦范線性空間概念的推廣。

20世紀初，法國數學家弗雷歇在引入距離空間，並用距離概念來統一過去分析學中的許多重要收斂時，就知道[a，b]上一列函式的“點點收斂”概念是不能用距離收斂來描述的。20世紀30年代以來，泛函分析中大量套用弱收斂、弱拓撲，它們都不能用距離來描述。這就很自然地把賦范線性空間理論發展成更一般的拓撲線性空間理論，其中最主要的成就是局部凸拓撲線性空間理論。這一分支的發展是與一般拓撲學的發展緊密聯繫在一起的。拓撲學方法在這裡發揮了極其重要的作用，法國數學家勒雷和波蘭數學家紹德爾所推廣的不動點定理就是有力的例證之一。1935年以後，經過十多年的努力，這一分支終於形成，它的許多結果不僅在泛函分析中有著廣泛的套用，而且為其他分析學科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

局部凸空間

局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函p_V(x)是E上的連續半範數。反之，設{p_λ|λ∈Λ}是E上一族半範數，E上使p_λ(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的，且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成：

這個局部凸拓撲稱為由半範數族{p_λ}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使p_λ(x)≠0，則{p_λ|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲。通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間。E中的定向半序點列{x_α}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ，p_λ(x_α-x)→0。設E₁是由另一半範數族{q_β}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E₁連續的充分必要條件是，對任意的q_β，總存在有限個λ₁，λ₂，…，λ_n∈Λ和常數c，使不等式：

對一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函.正因為如此，局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分.

關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個主要推動力是分布理論，即廣義函式理論。

商空間

商空間是一個線性空間模一個子空間所得的線性空間。設V是域P上的線性空間，W是V的子空間，對V中每一元α，定義α+W={α+β|β∈W}，設V-={α+W|α∈V}，利用V的加法及P與V的純量乘法，可以在V'內引入如下的加法及P與V'的純量乘法：

(α+W)+(β+W)=(α+β)+W，

k(α+W)=kα+W (k∈P).

這樣的定義是完全確定的，而且V-關於這樣定義的運算構成域P上的一個線性空間，稱為V對子空間W的商空間，記為V/W。例如，若V是P上5維線性空間，α₁，α₂，α₃，α₄，α₅是基，W是由α₁，α₂生成的子空間，則V/W是由三個元素α₃+W，α₄+W，α₅+W生成的商空間，而且這三個元素正好是V/W的基。一般地，若dim V/W有限，則稱其為W關於V的余維數，記為Codim W。

人物簡介——格羅騰迪克

數學家。出生於德國柏林，父親為俄國人，母親為德國人，13歲時逃亡到法國，長期保持無國籍身份。早年沒有受過正規教育，第二次世界大戰後才到巴黎高等師範學校和法蘭西學院去聽課。1960—1969年任法國高等科學研究所教授。他熱衷於和平主義和環境保護的宣傳，1970年當他得知數學研究受軍方資助時，即辭職回鄉務農。

格羅騰迪克在泛函分析和代數幾何領域都有重要貢獻。1952—1955年，他線上性拓撲空間理論的研究中引進了拓撲張量積和核空間的概念，這些工作曾受到數學界的廣泛注意。1955—1957年，他對阿貝爾範疇理論進行了系統研究，並發展了同調代數理論。1957年開始，他轉向了代數幾何及其在數論中的套用的研究。他在證明廣義黎曼-羅赫定理時，第一次給出了概型X的向量叢的格羅騰迪克群，並引入了代數K理論。1958年開始，他建立了代數幾何中的概型理論，把代數幾何和代數數域的算術統一了起來。這一理論對交換代數的發展也起了巨大推動作用。概型理論在證明韋伊猜想和莫德爾猜想中起了重要作用。1966年，格羅騰迪克獲菲爾茲獎章;1988年，獲瑞典皇家科學院克羅福特獎。他曾與他人合作寫了兩部多卷本的關於概型和基礎群等的書，另外他還著有《拓撲向量空 間》(Espaces VectorieleTopologiques，1954)、《代數幾何基礎》(Fondements de la Geometrie Algebrique，1962)等。