高階偏導數

對於多元函式來說，若其一階偏導數仍是關於每個自變數的函式，並且一階偏導數對每個自變數的偏導數也存在，則說這個多元函式具有二階偏導數。以此類推，有三階偏導數，四階偏導數等，我們把一階以上的偏導數稱為高階偏導數。

基本介紹

• 中文名：高階偏導數
• 外文名：partial derivative of higher order
• 學科：數學
• 領域範圍：數學分析
• 屬性：多元函式微分學

定義和例子

如果定義在開集上的函式的一階偏導數關於某個變數可偏微分，就能作出二階偏導數。同樣能定義階偏導數。我們即將一階以上的偏導數稱為高階偏導數。將這些高階偏導數記為：

例 1 求函式的所有二階偏導數和.

解 由於函式的一階偏導數是

因此有

和

例2 求函式的所有二階偏導數。

解 因為

所以二階偏導數為

高階偏導數和求導順序無關的條件

從上面兩個例子可以看到，這些函式關於和的不同順序的兩個二階偏導數都相等（這種既有關於又有關於的高階偏導數稱為混合偏導數），即

但這個結論並不對任何函式都成立，例如函式

它的一階偏導數為

進而求在處關於和的兩個不同順序的混合偏導數，得

由此看到，這裡的在原點處的兩個二階偏導數與求導順序有關。那么，在什麼條件下混合偏導數與求導順序無關呢？

定理

若和都在點連續，則

這個定理的結論對元函式的混合偏導數也成立。如三元函式，若下述六個三階混合偏導數

在某一點連續，則在這一點六個混合偏導數都相等。同樣，若二元函式在點存在直到階的連續混合偏導數，則在這一點階混合偏導數都與順序無關。

複合函式的高階偏導數

設是通過中間變數而成為的函式，即

其中。若函式都具有連續的二階偏導數，則作為複合函式的對同樣存在二階連續偏導數。具體計算如下：

顯然與仍是的複合函式，其中是的函式，是的函式。繼續求關於的二階偏導數

同理，我們可以計算另外兩個二階偏導數。