高斯絕妙定理

高斯絕妙定理（Gauss theorem egregium），表達高斯曲率的一個定理。曲面的高斯曲率K可以用曲面的第一類基本量及它們的一階、二階偏導數來表示，因此，高斯曲率是曲面的內蘊幾何量，該定理是高斯方程的直接推論。它的發現是微分幾何學發展史上的一個里程碑，由此產生了曲面的內蘊幾何。

基本介紹

• 中文名：高斯絕妙定理
• 外文名：Gauss theorem egregium
• 提出者：高斯
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：微分幾何
• 意義：表達高斯曲率的一個定理

人物介紹

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）是德國數學家，他對數字理論，代數，統計學，分析，微分幾何，大地測量學，地球物理學，力學，靜電學，天文學，矩陣理論和光學等許多領域做出了重大貢獻。

有時被稱為王子數學家（拉丁語，“數學家最重要的”）和“自古以來最偉大的數學家”，高斯在數學和科學的許多領域都有特殊的影響力，被列為歷史上最有影響力的數學家之一。

高斯已經指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數是上述邊數兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規和直尺實現的，但從那時起關於這個問題的研究沒有多大進展。高斯在數論的基礎上提出了判斷一給定邊數的正多邊形是否可以幾何作圖的準則。例如，用圓規和直尺可以作圓內接正十七邊形。這樣的發現還是歐幾里得以後的第一個。

這些關於數論的工作對代數數的現代算術理論(即代數方程的解法)作出了貢獻。高斯還將複數引進了數論，開創了復整數算術理論，復整數在高斯以前只是直觀地被引進。1831年(發表於1832年)他給出了一個如何藉助於x,y平面上的表示來發展精確的複數理論的詳盡說明。

高斯曲率

曲面論中最重要的內蘊幾何量。設曲 面在P點處 的兩個主曲率為k1，k2，它們的乘積k=k1·k2稱為曲面 於該點的總曲率或高斯曲率。它反映了曲面的一般彎曲程度。高斯曲率k的絕對值有明顯的幾何意義。設Δб是曲面上包含P點的一小片曲面（其面積仍用Δб表示），把Δб上的每點的單位法向量n平移到E3的原點O處，那么n的終點 的軌跡是 以O為中心的單位球面S2上的一塊區域 Δб* 。這個對應稱為高斯映射。曲面在P點鄰近彎曲程度可用Δб*( 其面積仍用Δб*表示）與Δб的面積比刻畫。

利用隱函式定理將曲面用二元函式f的圖像來表示，並且假設點p為臨界點，也即f在該點的梯度為0（這總是可以通過適當的剛體運動來實現）。然後p點的高斯曲率就是f在點p的黑塞矩陣（二階導數組成的2x2矩陣）的行列式。這個定義只要用基本的微積分知識就可以理解杯底或者帽頂“對應”鞍點的區別。

內蘊幾何

內蘊幾何是幾何學中最重要的內容。 內蘊幾何只關心幾何物體自身的性質， 而不關心這個物體在大空間中的位置。 換句話說，內蘊幾何的所有結論和概念只和物體本身的特性有關， 而和物體在大空間中的相對位置無關， 和坐標系的選取無關。

在古典微分幾何中， 人們常常將曲線和曲面放在三維歐氏空間中來處理。 曲線和曲面的很多幾何特性的描述與討論， 常常依賴於它們以什麼方式嵌入大空間。 但事實上， 很多幾何物體的重要性質本質上是內蘊的， 即與它們嵌入大空間的方式無關。 早年的幾何學家很少注意這一點。高斯與黎曼開始真正意識到這個問題。黎曼在其著名的幾何學演講中，正式地用內蘊的觀點重新討論了幾何學的諸多概念。

許多幾何概念都可以用內蘊的方式直接定義而擺脫外部空間和坐標系選擇的干擾。 比如切向量、餘切向量、聯絡、外微分、曲率、撓率、度量等等基本的概念。這些概念在古典微分幾何中卻是用非內蘊方式定義的。

特別是高斯曲率這個重要概念。 高斯首次發現了這個用第二基本形式（非內蘊的）得到的曲率竟然是內蘊的， 他對此發現極為滿意， 將之稱為絕好定理。我們現在知道， 幾何空間的彎曲是內蘊的現象， 這一點對於建立愛因斯坦的廣義相對論是非常重要的。

定理內容

高斯絕妙定理的拉丁語是““顯式定理”，是卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）證明的關於曲面曲率的微分幾何的基礎結果。定理說，如果一個曲面彎曲而沒有拉伸，表面的高斯曲率就不會改變。換句話說，高斯曲率可以通過測量表面本身上的角度，距離和速率來完全確定，而無需進一步參考表面嵌入環境三維歐幾里得空間中的特定方式。因此，高斯曲率是表面的固有不變數。

高斯以這種方式提出了定理（從拉丁語譯出）：

“因此，前面文章的公式推導出了絕妙定理。如果彎曲表面在任何其他表面上展開，則每個點的曲率測量值保持不變。”

定理具有重大意義，因為高斯曲率的起始定義直接使用空間中表面的位置。所以令人驚訝的是，不管所有的彎曲和扭曲變形，結果都不依賴於其嵌入。

在現代數學語言中，定理可以說如下：

“表面的高斯曲率在局部等值線下是不變的。”

定理套用

半徑R的球體具有等於1 / R²的恆定高斯曲率。同時，平面具有零高斯曲率。作為高斯絕妙定理的推論，一張沒有弄皺的紙不能彎曲到球體上。相反，球體的表面不能展開在平面上而不會使距離變形。如果一個人踩一個空的蛋殼，它的邊緣必須在展開之前被分割成平坦的。在數學上，一個球體和一個平面不是等距的，甚至在同一個地方。這個事實對於製圖是非常重要的：它意味著地球的平面（平坦）地圖可以是完美的，即使是地球表面的一部分。因此，每個製圖投影必然會至少扭曲一些距離。

耳蝸和螺旋體是兩個非常不同的表面。然而，他們中的每一個都可以不斷彎曲到另一個中：它們是局部等距的。從高斯絕妙定理可以看出，在這種彎曲下，線上圈和螺旋線的任何兩個對應點處的高斯曲率總是相同的。因此，等距測量只是簡單地彎曲和扭曲表面而沒有內部弄皺或撕裂，換句話說，沒有額外的張力，壓縮或剪下。

高斯絕妙定理的套用在普通的吃比薩策略中看到：（不是一個很好的例子，因為物理學涉及的數學定理比數學定理更多，例如，三角形的Saran Wrap也可以被認為是零曲率，但是沿著長邊摺疊的策略不會使其變得僵硬，但是乍看起來，比薩餅的例子不是說明高斯絕妙定理的好方法。）一片披薩可以看作是具有恆定高斯曲率0的曲面。輕輕彎曲切片必須大致保持該曲率（假設彎曲大致為局部等值線）。如果一個沿半徑水平彎曲一個切片，則沿著彎曲部分產生非零的主曲率，指出這些點處的另一個主曲率必須為零。這在垂直於摺疊的方向上產生剛性，這是當吃比薩餅時所需的屬性，因為它保持其長度足以消耗而不用混亂的形狀。這種相同的原理用於波紋材料的加固，最熟悉的是瓦楞紙板和波紋鍍鋅鐵以及某些形式的薯片。