第二基本形式

微分幾何中，第二基本形式（second fundamental form）是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式，通常記作 II。與第一基本形式一起，他們可定義曲面的外部不變數，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中一個光滑超曲面上選取了一個光滑單位法向量場，則可定義這樣一個二形式。

基本介紹

• 中文名：第二基本形式
• 外文名：second fundamental form
• 套用學科：微分幾何
• 記作： II
• 套用領域：數學
• 相關術語：第一基本形式

在曲面中

引論

R³中一個參數曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函式的像，z=f(x,y)，且平面z= 0 與曲面在原點相切。則f以及關於x和y的偏導數在 (0,0) 皆為零。從而f在 (0,0) 處的泰勒展開以二次項開始：

高階項，則在 (x,y) 坐標中在原點處的第二基本形式是二次型：

對S上一個光滑點p，總可以選取坐標系使得坐標的z-平面與S切於p，然後可以相同的方式定義第二基本形式。

經典記號

一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設r=r(u,v) 是R中一個正則參數曲面，這裡r是兩個變數的光滑向量值函式。通常記r關於u和v的偏導數為r_u與r_v。參數化的正則性意味著r_u與r_v對r的定義域中任何 (u,v) 是線性無關的。等價地，叉積r_u×r_v是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場n：

第二基本形式通常寫成

在基 {r_u,r_v} 下的矩陣是

在參數化uv-平面上一個給定點處係數L,M,N由r在那個點的二次偏導數到S的法線上投影給出，利用點積可計算如下：

現代記法

一個通常曲面S的第二基本形式定義如下：設r=r(u,u) 是R中一個正則參數曲面，這裡r是兩個變數的光滑向量值函式。通常記r關於u的偏導數為r_α，α = 1，2。參數化的正則性意味著r₁與r₂在r的定義域上是線性無關的，從而在每一點張成S的切空間。等價地，叉積r₁×r₂是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場n：

第二基本形式通常寫作

上式使用了愛因斯坦求和約定。

在參數 (u,u)-曲面給定點處係數b_αβ由r的二次偏導數到S的法線的投影給出，利用點積可寫成：

黎曼流形中

在歐幾里得空間中，第二基本形式由

給出，這裡 是高斯映射，而 是 的微分視為一個向量值微分形式，括弧表示歐幾里得空間的度量張量。

更一般地，在一個黎曼流形上，第二基本形式是描述一個超曲面形運算元（記作S）的等價方法，

這裡 表示周圍空間的共變導數，n超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的，則第二基本形式是對稱的。

第二基本形式的符號取決於n的方向的選取。（這稱為曲面的余定向，對歐幾里得空間中的曲面，等價於給定曲面的一個定向）。

推廣為任意余維數

第二基本形式可以推廣到任意余維數。在這種情形下，它是切空間上取值於法叢的一個二次型，可以定義為

這裡 表示共變導數 到法叢的正交投影。

在歐幾里得空間中，子流形的曲率張量可以描述為下列公式：

這叫做高斯方程，可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值，是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向。

對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率；如果N是嵌入黎曼流形(M,g) 中一個流形，則N在誘導度量下的曲率張量 可以用第二基本形式與M的曲率張量 表示出來：

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