基本介紹
- 中文名：類域論
- 外文名：The class field theory
- 特點：指的是研究數域上
- 實質：阿貝爾擴張的理論
發展歷史,基本定理,主定理,存在定理,合成定理,唯一性定理,同構定理,分解定理,前導子分歧定理,
發展歷史
類域的概念是D.Hilbert首先引進的，其1898年至1899年間作了如下的猜想：設Ck是k的理想類群，於是存在一個惟一的阿貝爾擴張K/k適合下列條件：①K/k的伽羅瓦群G(K/k)≌Ck；②k中每個素理想在K中非分歧；③設k的素理想P在Ck中所代表的類的階為ƒ。則ƒ|hk,hk=|Ck|。令hk=g·ƒ，於是P在K中分解成g個不同的素因子的積，它們對P的公共剩餘次數為ƒ。
希爾伯特就hk=2的情形給出了證明，以他的洞察力對一般情況作了如上的猜想。P.H.富特文格勒於1907年證明了如上的猜想。這個K/k被稱為希爾伯特類域。
在推廣希爾伯特類域的道路上，H.韋伯做了一步重要的準備工作,他在他的著作《代數學教程》第3卷中推廣了理想類群的概念。k的每個素理想P決定一類互相等價的P進賦值，這個等價類稱為k的一個有限素點,仍用P表示。此外,k還有r1個到實數域R的實嵌入σ1,σ2,…,σr1和r2對到複數域C的共軛的復嵌入決定出k的r1+r2個阿基米德絕對值如下：,其中| |表示複數絕對值。由決定的等價類稱為k的無限素點，依次記作，前r1個稱為實素點,後r2個稱為復素點。用P表示k的全部素點，用P的元素作形式積 ，其中vi≥0,μj≥0,而且只有有限多個vi不為0。M稱為k的一個整除子。所有整除子構成一個乘法么半群,而且是一個高斯半群。稱為M的有限部分。
每個整除子 M如下定義I(k)的一個模M的束子群：元素α∈k(k=k-{0})稱為滿足下列乘法同餘式(*)α呏1(modM),是指①將理想(α-1)/M0表成互素整理想的商U/,要求與M0互素；②σi(α)>0對所有μi>0的實素點Pinfin;i。所有滿足(*)的α生成的主理想(α)的集合,記作S,構成l(k)的一個子群，稱為模M的束子群。當M為單位整除子時，S1=I 即主理想子群。
高木貞治在1920年發表的文章中，套用H.韋伯的理想類群，成功地推廣了希爾伯特的結果，並且建立了完整的類域論。設K/k為數域k 上一個n 次伽羅瓦群擴張，G為它的伽羅瓦群。k的一個有限素點P稱為在K 中分歧，是指素理想P在K 中分歧；k的一個實素點P稱為在K中分歧，是指與P對應的k 的實嵌入σ 在K上的每個開拓都是復嵌入。對於任一σ∈G 和K 的任一分式理想U,令。設B為K的一個素理想，且位於k的素理想P之上,令B對P的剩餘次數為ƒ。則 /k(B)=P。令/k(I(k))={/k(U)|U取遍K的非零的分式理想}。高木貞治得到以下的重要結果：
① 基本定理 設K/k為數域k上一n次阿貝爾擴張，則存在k的一個整除子M,僅含在K內分歧的素點(有限或無限)作為素因子，使得理想群h =/k(I(K))S在I(k)內的指數為n。
② 分歧定理 設(h)的導子為F,則K的一個素點P在K內分歧的充分必要條件是P|F。
③ 同構定理 K/k的伽羅瓦群與I (k)/h 同構。
④ 分解定理 設P為k的與F互素的任一素理想;設hF∈(h)為由F 規定的理想群；設ƒ 是最小正整數使得P∈hF，則P在K 中分解成個素理想的積。
⑤ 存在定理 設h 為k的任一理想群，由整除子M所規定，指數(I(k):h)=n。則存在一個n次阿貝爾擴張K/k使得h=/k(I(K))S。
在推廣希爾伯特類域的道路上，H.韋伯做了一步重要的準備工作,他在他的著作《代數學教程》第3卷中推廣了理想類群的概念。k的每個素理想P決定一類互相等價的P進賦值，這個等價類稱為k的一個有限素點,仍用P表示。此外,k還有r1個到實數域R的實嵌入σ1,σ2,…,σr1和r2對到複數域C的共軛的復嵌入決定出k的r1+r2個阿基米德絕對值如下：,其中| |表示複數絕對值。由決定的等價類稱為k的無限素點，依次記作，前r1個稱為實素點,後r2個稱為復素點。用P表示k的全部素點，用P的元素作形式積 ，其中vi≥0,μj≥0,而且只有有限多個vi不為0。M稱為k的一個整除子。所有整除子構成一個乘法么半群,而且是一個高斯半群。稱為M的有限部分。
每個整除子 M如下定義I(k)的一個模M的束子群：元素α∈k(k=k-{0})稱為滿足下列乘法同餘式(*)α呏1(modM),是指①將理想(α-1)/M0表成互素整理想的商U/,要求與M0互素；②σi(α)>0對所有μi>0的實素點Pinfin;i。所有滿足(*)的α生成的主理想(α)的集合,記作S,構成l(k)的一個子群，稱為模M的束子群。當M為單位整除子時，S1=I 即主理想子群。
高木貞治在1920年發表的文章中，套用H.韋伯的理想類群，成功地推廣了希爾伯特的結果，並且建立了完整的類域論。設K/k為數域k 上一個n 次伽羅瓦群擴張，G為它的伽羅瓦群。k的一個有限素點P稱為在K 中分歧，是指素理想P在K 中分歧；k的一個實素點P稱為在K中分歧，是指與P對應的k 的實嵌入σ 在K上的每個開拓都是復嵌入。對於任一σ∈G 和K 的任一分式理想U,令。設B為K的一個素理想，且位於k的素理想P之上,令B對P的剩餘次數為ƒ。則 /k(B)=P。令/k(I(k))={/k(U)|U取遍K的非零的分式理想}。高木貞治得到以下的重要結果：
① 基本定理 設K/k為數域k上一n次阿貝爾擴張，則存在k的一個整除子M,僅含在K內分歧的素點(有限或無限)作為素因子，使得理想群h =/k(I(K))S在I(k)內的指數為n。
② 分歧定理 設(h)的導子為F,則K的一個素點P在K內分歧的充分必要條件是P|F。
③ 同構定理 K/k的伽羅瓦群與I (k)/h 同構。
④ 分解定理 設P為k的與F互素的任一素理想;設hF∈(h)為由F 規定的理想群；設ƒ 是最小正整數使得P∈hF，則P在K 中分解成個素理想的積。
⑤ 存在定理 設h 為k的任一理想群，由整除子M所規定，指數(I(k):h)=n。則存在一個n次阿貝爾擴張K/k使得h=/k(I(K))S。
於是,在k上有限阿貝爾擴張K/k和k的理想群（等價類）之間建立了一個一一對應。K/k 稱為對應於h 的類域，同時h 稱為對應於K/k的類群。(h)的導子稱為K/k的導子。
除了存在定理⑤以外，還有一個具有給定的局部性質的有限阿貝爾擴張存在的定理，就是1932年發表的格魯恩瓦爾德定理。王湘浩於1948年發現該定理包含的錯誤，並於1950年給出了正確的更一般的陳述和證明。從此以後人們稱之為格魯恩瓦爾德－王定理。它是著名定理“數域上中心單（結合）代數為循環代數”成立的主要根據之一。
有理數域Q上的分圓域是類域的一個雛形。設K=Q(ζ)為m(m>1)分圓域,ζ為一個m次本原單位根,當m為偶數時,假定4│m。此時K是Q上φ(m)次阿貝爾擴張,它的伽羅瓦群 ，K 的每個自同構σ由它在ζ上的作用惟一決定。若 ζ=ζ，σ可記成 σr，(r,m)=1，Q只有一個無限素點即實素點p。在K內分歧的素點恰由m的素因子和p組成。設p是任一個與m互素的素數,P為p在K中的一個素因子,ƒ為P對p的剩餘次數。於是NK/Q(P)=p，而且對應於p 的弗羅貝尼烏斯置換是 σp:ζ捚=ζ。於是。其次，Q 的每個非零分式理想是一個主理想，而且可由一個正有理數生成,與m互素的分式理想可寫成 ，其中每個素數 pi與m互素，vi∈Z。於是。
除了存在定理⑤以外，還有一個具有給定的局部性質的有限阿貝爾擴張存在的定理，就是1932年發表的格魯恩瓦爾德定理。王湘浩於1948年發現該定理包含的錯誤，並於1950年給出了正確的更一般的陳述和證明。從此以後人們稱之為格魯恩瓦爾德－王定理。它是著名定理“數域上中心單（結合）代數為循環代數”成立的主要根據之一。
有理數域Q上的分圓域是類域的一個雛形。設K=Q(ζ)為m(m>1)分圓域,ζ為一個m次本原單位根,當m為偶數時,假定4│m。此時K是Q上φ(m)次阿貝爾擴張,它的伽羅瓦群 ，K 的每個自同構σ由它在ζ上的作用惟一決定。若 ζ=ζ，σ可記成 σr，(r,m)=1，Q只有一個無限素點即實素點p。在K內分歧的素點恰由m的素因子和p組成。設p是任一個與m互素的素數,P為p在K中的一個素因子,ƒ為P對p的剩餘次數。於是NK/Q(P)=p，而且對應於p 的弗羅貝尼烏斯置換是 σp:ζ捚=ζ。於是。其次，Q 的每個非零分式理想是一個主理想，而且可由一個正有理數生成,與m互素的分式理想可寫成 ，其中每個素數 pi與m互素，vi∈Z。於是。
由此可知， (α)屬於阿廷映射ω 的核，其充分必要條件是。 所以。這就是有理數域上m分圓域的互反律。
C.謝瓦萊於20世紀30年代末引進了伊代爾 (idele)概念以替代理想概念，從而將有限阿貝爾擴張的阿廷映射推廣到任意（有限或無限）阿貝爾擴張上去。對於數域k的每個素點P，有一個局部域 (局部緊緻拓撲域)，k的乘法群k是局部緊緻交換群。除有限多個無限素點外,對每個有限素點P, k有一個極大緊子群即k的單位群U。作直積 ∏k，它的元素α可寫作α=(α),α∈k。如果α除去有限多個分量(其中包括全部無限素點上的分量)外，其餘每個分量都是k的單位，那么α稱為一個伊代爾。所有伊代爾集合是∏k的一個子群，記作Jk。Jk顯然是所有這種子群的並集，其中S 是k的素點集的任一個包含全部無限素點的有限子集。因而，由∏k的乘積拓撲誘導出的Jk的拓撲是局部緊的。若α=(α)的所有分量α=α∈k，則α顯然是一個伊代爾,稱為主伊代爾。所有主伊代爾構成Jk的一個子群，且與k同構,仍記作k。於是商群Ck=Jk/k*，稱為伊代爾類群。
自從H.哈塞利用局部域上的布饒爾群以建立局部類域論以來，人們逐步認識到群的上同調理論和類域論之間的聯繫,經過許多人的努力，套用群的上同調理論,對類域論作了系統處理。首先建立局部類域論，然後由局部類域論組織成整體類域論。設K/k為數域k上任一有限阿貝爾擴張，G為它的伽羅瓦群。對k的每個素點P,取定K的一個素點B使得B|P。K 和 K分別為K和k對B和P的完備化。G表示B的分解群,G就是K/k的伽羅瓦群。根據群的上同調理論，可以直接定義同態，稱為范剩餘符號。這個映射是一個滿同態而且這就是局部域上阿貝爾擴張的互反律，稱為局部互反律。然後用范剩餘符號去定義阿廷符號(α,K/k)如下：對k的每個伊代爾α=(α),規定：映射α(α,K/k)是伊代爾群Jk到 K/k的伽羅瓦群 G 的一個滿同態，而且這就是用伊代爾群表述的阿廷互反律。 這樣，阿廷符號就可以以自然的方式開拓到k的任意阿貝爾擴張上去。
應當指出，數域上的類域論可以平行地推廣到有限常數域上一元代數函式域上去。
阿廷在他與J.T.塔特合寫的類域論(1951～1952)的講稿中提出了類結構的概念，將局部的和整體的、數域的和代數函式域的類域論納入同一個公理化體系中。
C.謝瓦萊於20世紀30年代末引進了伊代爾 (idele)概念以替代理想概念，從而將有限阿貝爾擴張的阿廷映射推廣到任意（有限或無限）阿貝爾擴張上去。對於數域k的每個素點P，有一個局部域 (局部緊緻拓撲域)，k的乘法群k是局部緊緻交換群。除有限多個無限素點外,對每個有限素點P, k有一個極大緊子群即k的單位群U。作直積 ∏k，它的元素α可寫作α=(α),α∈k。如果α除去有限多個分量(其中包括全部無限素點上的分量)外，其餘每個分量都是k的單位，那么α稱為一個伊代爾。所有伊代爾集合是∏k的一個子群，記作Jk。Jk顯然是所有這種子群的並集，其中S 是k的素點集的任一個包含全部無限素點的有限子集。因而，由∏k的乘積拓撲誘導出的Jk的拓撲是局部緊的。若α=(α)的所有分量α=α∈k，則α顯然是一個伊代爾,稱為主伊代爾。所有主伊代爾構成Jk的一個子群，且與k同構,仍記作k。於是商群Ck=Jk/k*，稱為伊代爾類群。
自從H.哈塞利用局部域上的布饒爾群以建立局部類域論以來，人們逐步認識到群的上同調理論和類域論之間的聯繫,經過許多人的努力，套用群的上同調理論,對類域論作了系統處理。首先建立局部類域論，然後由局部類域論組織成整體類域論。設K/k為數域k上任一有限阿貝爾擴張，G為它的伽羅瓦群。對k的每個素點P,取定K的一個素點B使得B|P。K 和 K分別為K和k對B和P的完備化。G表示B的分解群,G就是K/k的伽羅瓦群。根據群的上同調理論，可以直接定義同態，稱為范剩餘符號。這個映射是一個滿同態而且這就是局部域上阿貝爾擴張的互反律，稱為局部互反律。然後用范剩餘符號去定義阿廷符號(α,K/k)如下：對k的每個伊代爾α=(α),規定：映射α(α,K/k)是伊代爾群Jk到 K/k的伽羅瓦群 G 的一個滿同態，而且這就是用伊代爾群表述的阿廷互反律。 這樣，阿廷符號就可以以自然的方式開拓到k的任意阿貝爾擴張上去。
應當指出，數域上的類域論可以平行地推廣到有限常數域上一元代數函式域上去。
阿廷在他與J.T.塔特合寫的類域論(1951～1952)的講稿中提出了類結構的概念，將局部的和整體的、數域的和代數函式域的類域論納入同一個公理化體系中。
基本定理
主定理
任意的相對Abel域K/k是k的某個理想群的類域。
存在定理
對於任意的理想群H(m)，存在H(m)的類域。
合成定理
設K1,K2為H1,H2的類域，則合成域K1K2/k為
的類域。因此，K1⊃K2成立的充分必要條件是H1⊂H2。
唯一性定理
H的類域是唯一的。
同構定理
K/k的Galois群與A(m)/H(m)同構，特別是，類域都是相對Abel域。
分解定理
對於類域K/k，與前導子f互素的k的素理想p，如f為最小正整數使p𝘧屬於H(f)，則在K/k中，可分解為
前導子分歧定理
f由K/k中的分歧素除子構成，且包括所有的分歧素除子。設
，則f𝗉與範數剩餘的p前導子是一致的，c的值可以用分歧的素除子的分歧群的階數及分歧常數來具體表示。
