局部類域論

局部類域論(local class field theory)是刻畫局部域的阿貝爾擴張的系統的理論，可由(整體)類域論導出；也可先用較特別的方法證明局部類域論，再由此推演出整體類域論。基本定理：若K/k為局部域的有限阿貝爾擴張，則伽羅瓦群G(K/k)同構於k*/NK*，而慣性群T(K/k)同構於U_k/NU_K，式中N表示從K到k的范映射，U_k為k的單位群，同構均由阿廷映射給出，由此，k的諸有限阿貝爾擴張K/k與k*的諸開子群H之間一一對應，包含關係相反，即K對應於H=NK*，G(K/k)≌k*/H。

基本介紹

• 中文名：局部類域論
• 外文名：local class field theory   
• 所屬學科：數學（代數數論）
• 相關概念：類域論，阿貝爾擴張，局部域等
• 相關定理：類域論基本定理

基本介紹

類域論

類域論是代數數論中最為重要的理論之一，也是數學所有理論中體系最為完美的理論之一。

類域論是描述下列幾種類型的域k的Abel擴張(Galois群是交換群的有限Galois擴張)的理論：

(1)k為代數數域，即有理數域Q的有限擴張；

(2)k是p-adic數域 的有限擴張；

(3)k是有限域上一個變數的代數函式域；

(4)k是有限域上的形式冪級數域。

類域論基本定理

在類域論中，最為著名的就是由Kronecker，Weber，HiIberr還有其他一些數學家總結出來的類域論基本定理：

定理1(類域論基本定理) 若 是數域的有限Abel擴張，其Galois群為 ，則存在k的模 (稱為 的導子，是的一個除子)。

(1)使得對k的任意模m，由 得出

其中 為與m互素的k的理想集， 為與m互素的K的理想到k的范的全體， 為模m餘1的 生成的主理想集；

(2) k的素除子v在K分歧若且唯若 ；k的與m互素的素理想p在K中完全分裂若且唯若 ；

(3) 對k的任意模m和 的任一含 的子群H，總存在唯一的Abel擴張 使得 ，特別地

定理中， 稱為射線理想類群，所謂射線理想類群即是一種廣義理想類群，它是類域論最初的表述語言(馬上將會用伊代爾語言給出類域論基本定理)。數域k的一個模(或稱為閉鏈)是指其素除子的一個形式積

此積式中v遍歷k的素除子，整數 只對有限個v非零，且當v是實除子時 或1，當v是復除子時 。對於 ，定義

為 (當v是 素除子)以及 到vC嵌入為正實數( 為實除子)。滿足 的 生成的主理想的全體記為 ，與m互素的k的理想全體記作 ，於是 便稱為k的以m為模的射線理想類群，其元素個數 稱為射線理想類數。

上面已經提到，射線理想類群是類域論基本定理的最初表述語言，而更常用的是伊代爾語言，下面就給出類域論基本定理的伊代爾語言。

定理1'(類域論基本定理的伊代爾語言) 若是數域的有限Abel擴張，則

其中為k的伊代爾群，表示K的伊代爾群到k的範數。

上述群的同構是由Artin映射(Artin符號)給出的。由類域論基本定理的伊代爾語言可以看出，數域k的所有具有Abel擴張與的含的所有開子集H之間存在一一對應關係，即K對應於，稱為H的類域(Class Field)，且

(類域論主同構)

(2)和(4)類型的域稱為局部的，(1)和(4)類型的域稱為整體的。於是，相應的就有局部類域論和整體類域論。

局部類域論的基本定理

所謂局部類域論即是刻畫局部域的Abel擴張的系統理論，它可由類域論導出，當然，也可先用較為特別的方法證明局部類域論，再由此推出整體類域論，局部類域論也有相應的基本定理。

定理2 若為局部域的有限Abel擴張，則

其中表示從K到k的范映射(范子群)，為慣性群，為k的單位群，同構同樣由Artin映射(Artin符號)給出。由此可見，k的所有有限Abel擴張與的所有開子群H之間存在一一對應關係，即K對應於

(局部類域論主同構)

反之，的所有具有有限指數的開子群都可以成為某一Abel擴張K的范映射(范子群)，這便是局部類域論的存在性定理。

下面介紹類域論中的幾個重要定理。

定理3(分裂定理) 設是H的類域()，v是k的素除子，則v在K(完全)分裂若且唯若。

定理4(分歧定理) 設是是H的類域()，v是k的素除子，則v在K中非分歧若且唯若，其中是的單位群。

定理5(同構定理) 數域k的Hilbert類域的Galois群與k的理想類群同構。

定理6(主理想定理) 數域k的任一理想到k的Hilbeft類域K上總為主理想，即總為K的主理想，為K的整數環。