非旋場

非旋場，即保守矢量場（Conservative vector field）。如果一個矢量場是某個標量勢的梯度，那么便稱為保守矢量場。有兩個密切相關的概念：路徑無關和無旋矢量場。任何一個保守矢量場的旋度都是零（因此是無旋的），也具有路徑無關的性質。

基本介紹

• 中文名：非旋場
• 外文名：Conservative vector field
• 別稱：保守矢量場

定義

一個矢量場 稱為保守的，如果存在一個標量場 ，使得：

在這裡， 表示 的梯度。當以上的等式成立時， 就稱為 的一個標量勢。

矢量分析基本定理表明，任何一個矢量場都可以表示為一個保守矢量場和一個螺線矢量場的和。

路徑無關

保守矢量場的一個重要性質是它沿著一條路徑的積分只與起點和終點有關，與路徑無關。假設 是三維空間內的一個區域，P是S內的一個可求長路徑，其起點為A，終點為B。如果 是保守矢量場，那么：

這是複合函式求導法則和微積分基本定理的結果。

一個等價的表述是，對於S內的所有閉合路徑，都有：

以上的逆命題也是成立的，只要S是連通區域。也就是說，如果 沿著S內的所有閉合路徑的環量都是零，那么 就是保守矢量場。

無旋矢量場

矢量場 是無旋的，如果它的旋度是零，也就是說：

由於這個原因，這種矢量場有時稱為無旋矢量場。

對於任何標量場 ，都有：

因此保守矢量場都是無旋矢量場。

只要S是單連通區域，它的逆命題也是成立的：每一個無旋矢量場也都是保守矢量場。

如果S不是單連通的，則逆命題不成立。設S為去掉z軸的三維空間，也就是 。現在，我們定義以下的矢量場：

則 存在，且在S內的每一個點旋度都是零；因此 是無旋的。但是， 沿著 平面內的單位圓的環量等於 。因此 不具有路徑無關的性質，所以不是保守的。

在單連通空間內，無旋矢量場具有路徑無關的性質。這是因為無旋矢量場是保守的，而保守矢量場又是路徑無關的。這個結果也可以從斯托克斯定理直接推出。在連通區域內，任何一個路徑無關的矢量場都一定是無旋的。

更加抽象地，保守矢量場是恰當1-形式。也就是說，它是一個1-形式，等於某個0-形式（標量場） 的外導數。一個無旋矢量場是閉合1-形式。由於d= 0，任何正合形式都是閉合的，因此任何保守矢量場都是無旋的。定義域是單連通的，若且唯若它的第一個同調群為零，或第一個上同調群為零。第一個德拉姆上同調群 是零，若且唯若所有閉合1-形式都是恰當的。

無旋流動

流體的流速 是矢量場，它的渦度 通常由以下公式定義：

如果是無旋的，那么這個流動就稱為無旋流動。無旋流動的渦度是零。

對於二維流動，渦度是流體元素的局部旋轉的一種衡量。注意渦度並不能說明流體的整體表現。做直線運動而具有渦度的流體是有可能的，做圓周運動而是無旋的流體也是有可能的。關於更多信息，請參見旋渦。

保守力

如果力 的矢量場是保守的，則這個力稱為保守力。

最明顯的例子是萬有引力。根據牛頓萬有引力定律，兩個質點m和M之間的引力等於：

其中G是引力常數，是單位矢量，從M指向m。萬有引力是保守的，這是因為，其中

是引力勢。

對於保守力，路徑無關可以解釋為從點A}到點B所做的功是與路徑無關的，沿著閉合路徑所做的功是零：

參見

• 螺線矢量場
• 亥姆霍茲分解