逆矩陣(非奇異矩陣)

逆矩陣

非奇異矩陣一般指本詞條

A是數域上的一個n階矩陣,若在相同數域上存在另一個n階矩陣B,使得: AB=BA=E ,則我們稱BA的逆矩陣,而A則被稱為可逆矩陣。註:E為單位矩陣

基本介紹

  • 中文名:逆矩陣
  • 外文名:inverse matrix
  • 所屬學科:線性代數
  • 學科分類:高等數學術語
  • 別稱:非奇異矩陣,滿秩矩陣
定義,定理,性質,性質定理,證明,可逆等價條件,逆矩陣求法,求逆矩陣的初等變換法,初等變換法計算原理,伴隨矩陣法,

定義

一個n階方陣A稱為可逆的,或非奇異的,如果存在一個n階方陣B,使得
則稱B是A的一個逆矩陣。A的逆矩陣記作A-1

定理

(1)驗證兩個矩陣互為逆矩陣
按照矩陣的乘法滿足:
故A,B互為逆矩陣。
(2)逆矩陣的唯一性
若矩陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的。
證明:
若B,C都是A的逆矩陣,則有
所以B=C,即A的逆矩陣是唯一的。
(3)判定簡單的矩陣不可逆
。假設有
是A的逆矩陣,則有
比較其右下方一項:0≠1。
若矩陣A可逆,則 |A|≠0
若A可逆,即有A-1,使得AA-1=E,故|A|·|A-1|=|E|=1
則|A|≠0

性質

性質定理

  1. 可逆矩陣一定是方陣。
  2. 如果矩陣A是可逆的,其逆矩陣是唯一的。
  3. A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作(A-1-1=A。
  4. 可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆,並且(AT-1=(A-1T (轉置的逆等於逆的轉置)
  5. 若矩陣A可逆,則矩陣A滿足消去律。即AB=O(或BA=O),則B=O,AB=AC(或BA=CA),則B=C。
  6. 兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。
  7. 矩陣可逆若且唯若它是滿秩矩陣。

證明

  1. 逆矩陣是對方陣定義的,因此逆矩陣一定是方陣。
    設B與C都為A的逆矩陣,則有B=C
  2. 假設B和C均是A的逆矩陣,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。
  3. 由逆矩陣的唯一性,A-1的逆矩陣可寫作(A-1-1和A,因此相等。
  4. 矩陣A可逆,有AA-1=I 。(A-1 TAT=(AA-1T=IT=I ,AT(A-1T=(A-1A)T=IT=I
    由可逆矩陣的定義可知,AT可逆,其逆矩陣為(A-1T。而(AT-1也是AT的逆矩陣,由逆矩陣的唯一性,因此(AT-1=(A-1T
  5. 1)在AB=O兩端同時左乘A-1(BA=O同理可證),得A-1(AB)=A-1O=O
    而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O
    2)由AB=AC(BA=CA同理可證),AB-AC=A(B-C)=O,等式兩邊同左乘A-1,因A可逆AA-1=I 。
    得B-C=O,即B=C。

可逆等價條件

    若|A|≠0,則矩陣A可逆,且
    其中,A*為矩陣A的伴隨矩陣
    證明:
    必要性:當矩陣A可逆,則有AA-1=I 。(其中I是單位矩陣)
    兩邊取行列式,det(AA-1)=det(I)=1。
    行列式的性質:det(AA-1)=det(A)det(A-1)=1
    則det(A)≠0,(若等於0則上式等於0)
    充分性:有伴隨矩陣的定理,有
    (其中
    是的伴隨矩陣。)
    當det(A)≠0,等式同除以det(A),變成
    比較逆矩陣的定義式,可知逆矩陣存在且逆矩陣

    逆矩陣求法

    求逆矩陣的初等變換法

    將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣
    對B施行初等行變換,即對A與I進行完全相同的若干初等行變換,目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時,B的右一半矩陣同時化為了A的逆矩陣。
    如求
    的逆矩陣A-1
    故A可逆並且,由右一半可得逆矩陣A-1=

    初等變換法計算原理

    若n階方陣A可逆,即A行等價I,即存在初等矩陣P1,P2,...,Pk使得
    ,在此式子兩端同時右乘A-1得:
    比較兩式可知:對A和I施行完全相同的若干初等行變換,在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時,這些初等行變換也將單位矩陣化為A-1
    如果矩陣AB互逆,則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知,矩陣AB都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知,這兩個矩陣的行列式都不為0。也就是說,這兩個矩陣的秩等於它們的級數(或稱為階,也就是說,A與B都是方陣,且rank(A) = rank(B) = n)。換句話說,這兩個矩陣可以只經由初等行變換,或者只經由初等列變換,變為單位矩陣。

    伴隨矩陣法

    如果矩陣
    可逆,則
    注意:
    中元素的排列特點是的第k元素是A的第k元素的代數餘子式。要求得
    即為求解
    的余因子矩陣的轉置矩陣。A的伴隨矩陣為
    ,其中Aij=(-1)i+jMij稱為aij的代數餘子式。

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