雙二次方程

雙二次方程

雙二次方程又稱“準二次方程”,是移項合併同類項之後,只含有偶次項的四次方程;換句話講,形如ax^4+bx^2+c=0(其中a、b、c均為不等於零的複數)的一元四次方程叫做雙二次方程。實際上,通過變數替換y=x^2可以將雙二次方程轉化成關於y的一元二次方程:ay^2+by+c=0,先求解出 y 的值,在求出解 x 的值。需要注意的是,求出來的結果一定經過驗證,看是否是原方程的解。

基本介紹

  • 中文名:雙二次方程
  • 外文名:Double two equation
  • 別名:準二次方程
  • 定義:只含有偶次項的一元四次方程
  • 領域:數學
  • 求解注意事項:需要驗證
定義,求方程的解,無實數解情形,求解步驟,注意事項,典型例題,例1,例2,

定義

雙二次方程又稱“準二次方程”,是移項合併同類項之後,只含有偶次項的四次方程,其一般形式為:
換句話說,形如
(其中a、b、c均為不等於零的複數)的一元四次方程叫做雙二次方程。實際上,通過變數替換
可以將雙二次方程轉化成關於y的一元二次方程:

求方程的解

已知:
(其中a、b、c均為不等於零的複數),求該方程的解。

無實數解情形

這個方程在複數集中有解。我們只討論無實數解的情況:
解這個方程一般方法是化為同解方程
,以一元二次方程的解法解得
,再由此得到
。由於要求找到無法滿足方程的實數
的情形,因此可能有以下情形:
(1)
不是實數;
(2)解得的兩個
均滿足
下面分情況討論:
(1)對應的
關於的一元二次方程的
(2)關於
的一元二次方程有兩個負實根。此時
(若(1)不成立則一定滿足這個條件),以原方程中
作為自變數,對應的拋物線
軸的交點都在的
負半軸上。於是對稱軸
軸左側,即
;且代入
時,
綜上所述:若滿足
)的其中之一時,則原方程無實數解。

求解步驟

第一步,令
可以將雙二次方程轉化成關於y的一元二次方程:
第二步,求解上述一元二次方程,得:
第三部,得到雙二次方程求根公式為:
第四部,驗證所求的解是否是原方程的根。

注意事項

求解雙二次方程一定要有驗根的步驟,看是否在實數的範圍內。

典型例題

例1

解方程
解:令
,可以將雙二次方程轉化成關於y的一元二次方程:
上式等價於:
得:
,可以得到:
,可以得到:
經驗證,
均為原方程的解。

例2

解方程
解:令
,可以將雙二次方程轉化成關於y的一元二次方程:
上式等價於:
得:
,可以得到:
,可知在實數範圍內無解,故捨去;
經驗證,
為原方程的解。

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