雅可比條件

雅可比條件是由附屬變分問題的歐拉-拉格朗日方程導出的一個取弱極值的光滑函式滿足的必要條件。

基本介紹

• 中文名：雅可比條件
• 外文名：Jacobi condition
• 適用範圍：數理科學

簡介

雅可比條件是由附屬變分問題的歐拉-拉格朗日方程導出的一個取弱極值的光滑函式滿足的必要條件。

雅可比條件是勒讓德條件發現50餘年後，雅可比在1838年的一篇文章中提出的。

具體內容

對於泛函

的極值函式 ，附屬變分問題的極值函式滿足雅可比方程

其中

而下式

稱為雅可比運算元。

推廣

對一般拉格朗日函式F(x,z,p)，雅可比運算元是

或分量寫出

中的變數是：

若 是雅可比方程 (1)在 上的一個解， ，在 上的一個解，則稱 x₂是 x₀ 點一個共軛值，而點 的一個共軛點；如果 上不存在x₀的共軛值，則稱 滿足強雅可比條件。

套用

共軛點的幾何意義：設平穩曲線 過點 A 和點B ，從 A 出發的中心平穩曲線場y=(x,c)的包絡與曲線的切點A*即是 A 的共軛點。為驗證x₂是否為共軛值需要求雅可比方程的通解，雅可比方程既然為線性齊次方程，為求其通解，只需求兩個線性無關即可，關於雅可比方程的解，有下列結果：

1、x₀的共軛值不依賴於雅可比方程的解

2、若 y(x)是泛函

的歐拉-拉格朗日方程的通解，，又參數α*和β*使下列邊界條件滿足：

則

是雅可比方程的兩個線性無關解。

如果光滑函式使泛函

在上取極小（或極大），又設沿滿足嚴格勒讓德條件

(對於極大，不等式(2)反向），則不存在x₀的共軛值x₂<x₁(即滿足雅可比條件）。