錐面

過定點M₁的動直線L沿著一條確定的曲線C移動所形成的曲面稱為錐面。直線L稱為錐面的生成直線(母線)，曲線C稱為準線，而定點M₁叫作錐面的一個頂點。

基本介紹

• 中文名：錐面
• 外文名：conical surface
• 所屬學科：數學
• 相關概念：母線、準線等

定義

通過一個定點V且與定曲線r(它不過定點V)相交的所有直線構成的曲面稱為錐面；定點V叫做頂點。定曲線C叫做錐面的準線，構成曲面的每一條直線叫做母線。設錐面的準線 的方程為

那么通過頂點 和準線 上一點 的直線即錐面的母線方程是

令上式的比值等 而得

因 是準線 上的點，故適合式 ，將上式代入，然後再消去t，即得錐面的普通方程。 特別地，如果錐面的頂點為坐標原點，準線為

那么錐面的方程就是

事實上，因母線的方程為

又

消去 便得

定理

以原點為頂點的錐面方程是關於 的齊次方程，反之，一個含 的齊次方程 的圖形總是頂點位於原點的錐面。

事實上．設 是曲面 上的一點(但不是原點)。即 ，則直線OP上的任意一點M的坐標為

一定也適合方程 ，因為

這裡的n是所給齊次方程的次數，這表示直線OP上任意一點都在曲面 上，因此該曲面是由過原點的直線構成的，根據定義，這曲面是以原點為頂點的錐面。

例題

求以原點為頂點，以橢圓

為準線的錐面(圖1)的方程。

圖1

解 據式

知，所求錐面的方程是

即

這是關於 的二次齊次方程，這錐面叫做二次錐面，當a=b時，就是圓錐面。