譜序列

在同調代數中，譜序列是一種借著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其套用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。

基本介紹

• 中文名：譜序列
• 外文名：Spectral sequence
• 領域：數學
• 適用領域：代數拓撲學

動機

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡煉的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

形式定義

以下固定一個阿貝爾範疇，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 及下述資料：

對所有整數 ，有範疇中的一個對象 。

自同態 ，滿足 ，稱為邊界映射或微分。

從 到 的同構。

通常省去 與 的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈復形，它帶有一個微分 。取 ，並令 ，於是必有 ；這個新鏈復形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 。綜之，我們得到一個鏈復形範疇上的譜序列：

由於只有 時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 ，此時的微分映射次數與 有關：對於上同調譜序列， 的次數是 。對於同調譜序列，通常將各項寫成 ，微分映射 的次數是 。

譜序列之間的態射 定義為一族態射 ，使之與同構 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶

交換代數中大部分的譜序列來自鏈復形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模） ，一個正合偶是：

一對對象 三個態射： 使之滿足下述正合條件：

將這組資料簡記為 。正合偶通常以三角形表示。 對應到譜序列的 項，而 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：

由導出。

定義如下：若為某個環上的模範疇，對任一，存在使得，定義為在中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射。

可以驗證構成正合偶。對應到譜序列的項。續行此法，可以得到一族正合偶。相應的譜序列定義為，。

收斂與退化

在第一個簡單的例子中，譜序列在後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列對每個都存在，使得當時，及皆為零，則稱之極限項為（取充分大的）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標指涉過濾結構。

若存在對象、過濾結構，及一族同構，滿足（這種過濾稱為“正則過濾”），則稱收斂到，通常表為下述符號：

習慣上，人們也常將上式寫成，因為譜序列中最重要的頁往往是。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定，若對每個，微分映射都是零，則稱該譜序列在第頁退化。

退化性保證了，此時即其極限。如果一個雙分次譜序列的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在時退化。