裂項法(裂項相消法)

裂項法

裂項相消法一般指本詞條

裂項法,這是分解與組合思想在數列求和中的具體套用。是將數列中的每項(通項)分解,然後重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的。 通項分解(裂項)倍數的關係。

基本介紹

  • 中文名:裂項法
  • 別稱:裂項相消法
  • 表達式:1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:代數
  • 適用領域範圍:數列
  • 相關數列求法:錯位相減法,分組求和法
裂項法求和,示例,小結,

裂項法求和

(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]
基本裂項式基本裂項式
(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!
分母三個數相乘的裂項公式分母三個數相乘的裂項公式
(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n
(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]

示例

例1】【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解:an=1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)](裂項)
則 Sn=1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3)-(1/4)…+(1/n)- [1/(n+1)](裂項求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
例2】【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1) 的前n項和.
解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂項)
則 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂項求和)
= [n(n+1)(n+2)]/3
例3】1/(1×4)+1/(4×7)+1/(7×10)+……+1/(91×94)使用裂項公式將每個分式展開成兩個分數。
原式=1/3 *[(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10)+……+(1/91-1/94)]=1/3*(1-1/94)=31/94

小結

此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意: 餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
易錯點:注意檢查裂項後式子和原式是否相等,典型錯誤如:1/(3×5)=1/3-1/5(等式右邊應當除以2)
附:數列求和的常用方法:
公式法、裂項相消法錯位相減法倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
1、分組法求數列的和:如an=2n+3n
2、錯位相減法求和:如an=n·2^n
3、裂項法求和:如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:如an= n
5、求數列的最大、最小項的方法:
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解:
(1)當 a1>0,d<0時,滿足{an}的項數m使得Sm取最大值.
(2)當 a1<0,d>0時,滿足{an}的項數m使得Sm取最小值.
7、對於1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。

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