薛丁格繪景

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景里，量子系統的態矢量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景里，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態矢量則與時間無關。在狄拉克繪景里，態矢量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

基本介紹

• 中文名：薛丁格繪景
• 外文名：Schrödinger picture
• 領域：量子力學

簡介

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景里，量子系統的態矢量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景里，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態矢量則與時間無關。在狄拉克繪景里，態矢量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。

在薛丁格繪景里，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從 流易到 ，而經過這段時間間隔，態矢量 演化為態矢量 ，這時間演化過程以方程表示為

其中， 是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量H不含時，則時間演化算符為

其中， 是約化普朗克常數，指數函式 必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書里，時常會使用薛丁格繪景。

時間演化算符

定義

時間演化算符 定義為

其中，右矢 表示時間為t的態矢量， 是時間演化算符，從時間t演化到時間 。

這方程可以做這樣解釋：將時間演化算符 作用於時間是 的態矢量 ，則會得到時間是t的態矢量 。

類似地，也可以用左矢 來定義：

其中，算符 是算符U的厄米共軛。

性質

么正性

由於態矢量必須滿足歸一條件，態矢量的範數不能隨時間而變：

可是，

所以，時間演化算符必須是么正算符。

其中， 是單位算符。

單位性

時間演化算符 必須是單位算符 ，因為，

閉包性

從初始時間 到最後時間t的時間演化算符，可以視為從中途時間到最後時間t的時間演化算符，乘以從初始時間到中途時間的時間演化算符：

根據時間演化算符的定義，

所以

可是，再根據定義

所以，時間演化算符必須滿足閉包性：

時間演化算符的微分方程

為了方便起見，設定，初始時間永遠是0，則可忽略時間演化算符的參數，改寫為。含時薛丁格方程為

其中，H是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式，可以得到

由於可以是任意恆定態矢量（處於的態矢量），時間演化算符必須遵守方程

假若哈密頓量不含時，則這方程的解答為

注意到在時間t=0，時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=I。由H是算符，指數函式必須通過其泰勒級數計算：

按照時間演化算符的定義，在時間t，態矢量為

注意到可以是任意態矢量。假設初始態矢量是哈密頓量的本徵態，而本徵值是，則在時間t，態矢量為

這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。

假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為

假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為

其中，T是時間排序算符。

必須用戴森級數來表示，

參閱

• 哈密頓-亞可比方程