歸一條件

在量子力學里，表達粒子的量子態的波函式必須滿足歸一條件（歸一化，英語：be normalized），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於1。這性質稱為歸一性。

基本介紹

• 中文名：歸一條件
• 外文名：be normalized
• 別稱：歸一化
• 學科：量子力學
• 領域：量子力學
• 定義：找到粒子的機率必須等於1

定義

在量子力學里，表達粒子的量子態的波函式必須滿足歸一條件（歸一化，英語：be normalized），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於1。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

其中，x是粒子的位置，是波函式。

歸一化導引

一般而言，波函式 是一個複函數。可是，是一個實函式，大於或等於0，稱為“機率密度函式”。所以，在區域 內，找到粒子的機率 是

；(1)。

既然粒子存在於空間，機率是1。所以，積分於整個一維空間：

。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函式，其機率P是有限的，但不等於1，則可以將波函式 乘以一個常數，使機率P等於1。或者，假若波函式內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率P等於1。

歸一化恆定性

給予一個歸一化的波函式。隨著時間的變化，波函式也會改變。假若，隨著時間改變的波函式不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函式歸一化。這樣，歸一常數A變得含時間。很幸運地，滿足薛丁格方程的波函式的歸一性是恆定的．設定波函式 滿足薛丁格方程與歸一條件：

假若，歸一性是恆定的，則機率P不含時間。為了顯示這一點，先計算 ：

展開被積函式

編排薛丁格方程，可以得到波函式對於時間的偏導數：

共軛波函式對於時間的偏導數為

將 與代入被積函式

代入的方程:

可是，在都等於 0 ．所以，

機率 P=1 不含時間。波函式的歸一化是恆定的。

實例

在一維空間內，束縛於區域 內的一個粒子，其波函式是

；

其中，k是波數，是角頻率，A是任意常數。

計算能夠使波函式歸一化的常數值A。將波函式代入：

積分於整個粒子存在的區域：

稍加運算，

歸一化的波函式是：