薄板理論

研究薄板在垂直於板平面的載荷作用下，或在垂直載荷與板平面內載荷的共同作用下的彎曲變形和內力的理論。薄板是指厚度（t）遠小於長度和寬度的物體

基本介紹

• 中文名：薄板理論
• 外文名：Theory of thin plates
• 類    別：工程實用的近似理論

薄板理論的內容

根據有關變形假設,建立板彎曲後中面的撓度微分方程,並利用邊界條件求解,得出板中面的彎曲面，進而算出板的內力分量，如彎矩、扭矩、剪力，等等。

微分方程

薄板理論是一個近似理論。薄板撓度微分方程是以下面三個假設為基礎的：①原垂直於板中面的線段仍垂直於變形後的中面；垂直於中面的正應力（見應力）遠小於平行於中面的應力分量，故可以忽略；③在垂直於板中面的載荷作用下發生彎曲時，板中面不受拉伸。其中①和③稱為基爾霍夫假設。根據這些假設導出的微分方程適用於小撓度情況，即撓度和板厚度相比為一小量。

在垂直於板中面的分布載荷作用下（圖1），薄板撓度的微分方程為：

式中p（x，y）為垂直於板面的分布載荷；w為載荷作用下板中面各點沿z方向的位移（即撓度）；

為板的彎曲剛度，E為板材料的彈性模量，v為泊松比（見材料的力學性能）；t為板厚。

如果在板的中面內還有張力N_x、N_y和剪力N_xy（圖2），則微分方程為：

如果薄板被彈性地基支承，根據溫克勒假設，即地基的反作用力和沉陷深度成正比，則有：

式中k為地基的彈性模量。

對於正交各向異性板，彎曲面的微分方程為：

式中的D_x、H、D_y均為正交各向異性板的有關常數。

圖2 板中的內力

上述方程通過坐標變換還可寫成其他形式，以便求解其他形狀的板。例如通過極坐標變換，可得到求解各向同性圓板彎曲面的微分方程如下：

邊界條件

對不同的邊界情況，邊界條件有所不同：

①固定邊沿邊緣各點的撓度和斜度均為零。在直角坐標系中，若x=a為固定邊，則

②簡支邊（註：此處空格）沿簡支邊各點的撓度和彎矩M均為零。若x=a為簡支邊，則

③自由邊（註：此處空格）沿自由邊各點的彎矩和剪力V為零。若x=a為自由邊，則

④自由角點（註：此處空格）若x=a，y=b是一個自由角點，則角點的反力R為零，即

求解

有兩種途徑，一是求出既滿足微分方程又滿足邊界條件的精確解（如萊維法，納維法）；二是當得不到精確解時，採用各種近似方法求解，例如有限元法、有限差分方法等數值方法和能量方法。出於工程實際的需要，人們對矩形板和圓板的研究較多。