自適應格線

自適應格線法，簡稱AMR，最早是由Berger and Oliger於1984年提出的，是通過求解橢圓型方程的邊值問題來數值生成格線的一種新方法。它是在任意形狀的區域上求偏微分方程的數值解的一種非常有效的工具。該方法拋棄了等距均勻的差分格線，代之以能夠自動地適應所研究問題中解的特徵的疏密程度不均的曲線格線。如在邊界上計算格線與實際邊界相重合，在區域內部可任意調節格線點的疏密程度等。

基本介紹

• 中文名：自適應格線
• 外文名：self adaptive mesh
• 簡稱：AMR
• 學科：數學
• 提出時間：1984年
• 提出者：Berger and Oliger

簡介

自適應格線方法是指計算中，在某些變化較為劇烈的區域，如大變形、激波面、接觸間斷面和滑移面等，格線在疊代過程不斷調節，將格線細化，做到格線點分布與物理解的耦合，從而提高解的精度和解析度的一種技術。自適應格線希望在物理解變動較大的區域格線自動密集，而在物理解變化平緩區域格線相對稀疏，這樣在保持計算高效率的同時得到高精度的解。自適應格線技術主要有移動格線方法和局部細化或粗化的格線方法。近年來，自適應格線方法一直引起國際學術界和各類套用部門的高度重視，並且成為格線方法研究的熱點問題，發展了很多方法，在一些領域套用非常廣泛。

自適應格線技術對衝壓成型是至關重要的，因為初始的衝壓板材通常比較平坦、形狀很簡單，採用有限元格線離散化時，如果格線較粗，可能引起較大誤差。但如果採用細密的有限元格線，將增加單元的總數，並且由於單元尺寸減小將降低極限時步長，增加計算的機時。雖然採用局部細分格線可以節省機時，但由於板料大變形和在模具中相對滑動，難以預測局部細分格線在初始狀態板料上的位置，而且局部細分格線在前處理時也有很大麻煩。自適應格線技術剛好解決了這一問題，並在時間與精度上巧妙地取得了平衡。自適應格線技術提高了對零件的表面質量(表面缺陷、擦傷、微皺紋等現象)判斷的準確性，並且可以節約大量的計算時間。

原理

基本思想

自適應格線法是一種高效且準確的數值方法，其格線結構可以隨著計算的推進而動態變化。自適應格線法的基本思想就是根據計算的實際需要以及問題的特性動態改變計算區域內的格線結構，在物理量變化劇烈的計算區域，採用空間尺度較小的精細格線予以計算；在物理量變化緩慢的區域，採用空間尺度較大的粗格線來計算，從而提高計算效率，也就是說自適應格線法可以動態追蹤流場內的鋒面運動。

構造原理

自適應格線的構造原理是通過坐標變換將參數平面上的一個簡單區域(如矩形區域或多個矩形所組成的區域)變換到物理平面上的計算區域，使得矩形區域的邊界與計算區域邊界一一對應，區域內部與內部相對應。這樣一來，有限差分方法可直接在參數平面上進行計算，而無需考慮真實的區域邊界的形狀。即使當計算區域的邊界是非常定的，該坐標的套用仍使得計算在參數平面上的一個固定的等距、均勻的矩形格線系統上進行，而其邊界始終與真實的區域邊界相重合。這樣做大大地減化了計算，使得邊界上的值可直接用於格線點上，而不需要任何形式上的插值，從而可以準確地表達邊界條件，有效地克服了等距差分格線在邊界上所帶來的誤差。

劃分方法

在LS-DYNA中，自適應格線劃分方法可以分為兩種：h-adaptive方法和r-adaptive方法。

h-adaptive方法是指單元變形較大時，將單元細分為更小的單元以改善精度，目前僅適用於殼單元，主要用於金屬成型模擬、薄壁結構受壓屈曲等問題。

圖1

在h-adaptive方法中，某些單元分割為更小的單元以改善計算精度，如圖1所示，薄壁方形梁屈曲分析採用的是一級自適應格線劃分計算。LS-DYNA中採用自適應格線方法的目的在於使用有限的計算資源獲得最大的計算精度。用戶設定好初始格線和自適應劃分級別後，程式根據需要將某些單元進行分割。雖然這種方法並不能完全解決求解過程中的誤差，但與固定格線相比，可以使用較少的單元和計算資源來儘可能地提高求解精度。

圖2

h-adaptive方法中，某些單元由於精度需要細分為更小的單元，這個過程稱為裂變。裂變後，新單元的邊長尺寸是原來的1/2，通過各邊中點以及單元質心，一個四邊形單元可以分割為四個四邊形單元，如圖2所示。

格線結構

格線結構是數學模型空間離散的基礎，所有的離散步驟均是在各離散格線上進行的。對於點中心控制容積法，計算區域在理論上可以被劃分為任意形狀的格線，為了方便實施計算，一般採用正交規則格線系統。

自適應格線法的格線是一種多層格線結構，這意味著計算區域中存在有不同層次的格線，它們的空間尺度各不相同，從最細層（l=1）到最粗層（），如圖3所示。所有格線層次中最基本的格線是計算開始前的初始格線，記為 l層格線。多孔介質的屬性均定義在該層格線上，例如絕對滲透率、孔隙度、多孔介質的輸運性質包括相對滲透率、毛管力函式關係等等，更為重要的是數值模擬過程中，多孔介質的上述性質在該層格線上視為均質。

圖3 自適應格線法格線結構示意圖

在自適應格線法中，需要進行兩種操作：粗化與細化。當l層格線被細化後，數個l-1層格線被創建，一般記該l層格線為父格線，這些被創建的l-1層格線為子格線。當格線被粗化時，與細化相反，數個l層格線被一個更粗的l+1層格線所替代，但是在粗化中，需要遵循一個規則：只有那些來自於同一個父格線的較細層格線才可以被粗化為一個更粗層格線。值得注意的是，不同於多重格線法，自適應格線法的所有粗格線下均未定義精細格線，在所有的計算中，始終是定義在粗格線上的物理量參與數值計算。

為了確保計算穩定，自適應格線法一般要求相鄰格線的層次之差不超過1。同時相鄰格線上的格線尺寸滿足。