群作用

數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個雙射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者變換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性變換作用在集合上時）。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

基本介紹

• 中文名：群作用
• 外文名：Group Action
• 領域：數理科學
• 套用：抽象代數;集合

定義

若 為一個群而 為一個集合，則 在 上的一個(左)群作用是一個二元函式

(其中 和 的像寫作 )，滿足如下兩條公理：

1. 對於所有 和 成立；

2. 對於每個 成立 ( 代表 的麼元)。

從這兩條公理，可以得出對於每個 ，映射 到 的函式是一個雙射，從 映射到 。因此，也可以將 在 上的群作用定義為從 到對稱群 的群同態。

若群作用 給定，我們稱“G作用於集合X”或者X是一個G-集合。

完全一樣地，可以定義一個G在X上的右群作用為函式 ，滿足以下公理：

注意左和右作用的區別僅在於像 這樣的積在 上作用的次序。對於左作用 先作用然後是，而對於右作用先作用然後是。從一個右作用可以構造一個左作用，只要和群上的逆操作複合就可以了。如果為一右作用，則

是一左作用，因為

而

所以在這裡，我們只考慮左群作用，因為右作用可以相應推理。

群作用軌道

1.作用軌道

設為目標集，群作用在上，，則集合稱為在作用下的一個軌道，為此軌道的代表元。

由軌道的定義可得如下性質，

性質1：若在中定義二元關係為：存在，使，則是中的等價關係，且每一個等價類就是一個軌道。

性質2：，即軌道中任意元素鬥魚資格作為代表元。

性質3：構成的一個劃分，因而有。

2.穩定子群

設群作用在上，，，若，則稱為的一個不動點（fixpoint）。以為不動點的所有群元素的集構成的子群

稱為的穩定子群（Stabilizer）。

關於穩定子群與其軌道關係有如下輕質：

1）軌道公式：

2）同一軌道上的元素的穩定子群是互相共軛的：