羅爾中值定理

羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

羅爾定理描述如下：

如果 R 上的函式 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

基本介紹

• 中文名：羅爾中值定理
• 外文名：Rolle's theorem
• 別稱：羅爾定理
• 提出時間：1691年
• 套用學科：高等數學 微分學
• 適用領域範圍：物理、數學等
• 適用領域範圍：方程根的存在性

證明過程

證明：因為函式 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若 M=m，則函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函式，結論顯然成立。

2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f'(ξ)=0。

另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

幾何意義

若連續曲線y=f(x) 在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直於 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在C點處的切線平行於 x 軸。

幾種特殊情況

（1）有界開區間上的有界函式

若函式 在區間 上連續且可導，並有 ，則至少存在一個 ，使得 。

（2）有界區間上的無界函式

若函式 在區間 上連續且可導，並有 （或 ），則至少存在一個 ，使得 。

（3）無界區間上的有界函式

若函式 在區間 上連續且可導，並有 ，則至少存在一個 ，使得 。

（4）無界區間上的無界函式

若函式 在區間 上連續且可導，並有 （或 ），則至少存在一個 ，使得 。

（5）半無界區間上的有界函式

若函式 在區間[ )上連續且可導，並有 ，則至少存在一個 ，使得 。

（6）半無界區間上的無界函式

若函式 在區間[ )上連續且可導，並有 （或 ），則至少存在一個 ，使得 。

證明

這裡僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其餘證明的思路大致類似。

定理 若函式 在區間 上連續且可導，並有 。則至少存在一個 ，使得 。

證明：至少可取到一點 ，使 ，否則 恆等於 ，對於任意的實數 ，都有 。

不妨設 ，取 ，顯然 。根據極限定義，由 可得

，當 時，有 ， ， ，

任取 ，則有 ， 。

利用 ，類似地可知存在 ，使 。

於是， 在閉區間 上連續，則在閉區間 上必有 的最小值點 ，由於閉區間 的兩個端點都不可能是 的最小值點，由此可知 ，根據費馬定理可知 。

定理 若函式 在區間 上連續且可導，並有 。則至少存在一個 ，使得 。

證明： 任取 ，因為 ，所以至少存在一點 ，使 。

類似地由 可知存在一點 ，使 。

這就有了 且 ，

於是， 在閉區間 上連續，則在閉區間 上必有 的最小值點 ，由於閉區間 的兩個端點都不可能是 的最小值點，由此可知 ，根據費馬定理可知 。

範例解析

用羅爾中值定理證明：方程

3在 (0,1) 內有實根。

證明： 設

則 F(x) 在 [0,1] 上連續，在 (0,1) 內可導，，所以由羅爾中值定理，至少存在一點，使得，所以，所以ξ是方程在 (0,1) 內的一個實根。

結論得證。