羅爾中值定理

羅爾中值定理

羅爾(Rolle)中值定理微分學中一條重要的定理,是三大微分中值定理之一,其他兩個分別為:拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。

羅爾定理描述如下:

如果 R 上的函式 f(x) 滿足以下條件:(1)在閉區間 [a,b] 上連續,(2)在開區間 (a,b) 內可導,(3)f(a)=f(b),則至少存在一個 ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。

基本介紹

  • 中文名:羅爾中值定理
  • 外文名:Rolle's theorem
  • 別稱:羅爾定理
  • 提出時間:1691年
  • 套用學科:高等數學 微分學
  • 適用領域範圍:物理、數學等
  • 適用領域範圍:方程根的存在性
證明過程,幾何意義,幾種特殊情況,範例解析,

證明過程

證明:因為函式 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續,所以存在最大值最小值,分別用 M 和 m 表示,分兩種情況討論:
1. 若 M=m,則函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函式,結論顯然成立。
2. 若 M>m,則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得,從而ξ是f(x)的極值點,又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得,f(x) 在 ξ 處取得極值,由費馬引理推知:f'(ξ)=0。
另證:若 M>m ,不妨設f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可導條件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由極限存在定理知左右極限均為 0,得證。

幾何意義

連續曲線y=f(x) 在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB,除端點外處處具有不垂直於 x 軸的切線,且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等,則在弧 AB 上至少有一點 C,使曲線在C點處的切線平行於 x 軸。

幾種特殊情況

(1)有界開區間上的有界函式
若函式
在區間
上連續且可導,並有
,則至少存在一個
,使得
(2)有界區間上的無界函式
若函式
在區間
上連續且可導,並有
(或
),則至少存在一個
,使得
(3)無界區間上的有界函式
若函式
在區間
上連續且可導,並有
,則至少存在一個
,使得
(4)無界區間上的無界函式
若函式
在區間
上連續且可導,並有
(或
),則至少存在一個
,使得
(5)半無界區間上的有界函式
若函式
在區間[
)上連續且可導,並有
,則至少存在一個
,使得
(6)半無界區間上的無界函式
若函式
在區間[
)上連續且可導,並有
(或
),則至少存在一個
,使得
證明
這裡僅選擇特殊情況(2)、(3)加以證明,其餘證明的思路大致類似。
定理 若函式
在區間
上連續且可導,並有
。則至少存在一個
,使得
證明:至少可取到一點
,使
,否則
恆等於
,對於任意的實數
,都有
不妨設
,取
,顯然
。根據極限定義,由
可得
,當
時,有
任取
,則有
利用
,類似地可知存在
,使
於是,
在閉區間
上連續,則在閉區間
上必有
的最小值點
,由於閉區間
的兩個端點都不可能是
的最小值點,由此可知
,根據費馬定理可知
定理 若函式
在區間
上連續且可導,並有
。則至少存在一個
,使得
證明: 任取
,因為
,所以至少存在一點
,使
類似地由
可知存在一點
,使
這就有了
於是,
在閉區間
上連續,則在閉區間
上必有
的最小值點
,由於閉區間
的兩個端點都不可能是
的最小值點,由此可知
,根據費馬定理可知

範例解析

用羅爾中值定理證明:方程
3
在 (0,1) 內有實根。
證明:
則 F(x) 在 [0,1] 上連續,在 (0,1) 內可導,
,所以由羅爾中值定理,至少存在一點
,使得
,所以
,所以ξ是方程
在 (0,1) 內的一個實根。
結論得證。

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