線性生成空間

定義

給定域 K 上的向量空間 V，集合 S（不必有限）的生成空間定義為所有包含 S 的線性子空間 V 的交集W，稱 W 為由 S（或 S 中的向量）生成的子空間。

如果

是 V 的有限子集，則生成空間為

解釋

S 的生成空間也可定義為 S 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證：S 中向量的有限線性組合的集合是包含 S 的一個向量空間，反之任何包含 S 的向量空間必然都包含 S 中向量的有限組合，故兩個定義是等價的。

如果 S 的生成空間是 V，則 S 稱為 V 的生成集合（spanning set）。V 的一個生成集合不必是 V 的一組基，因其不必是線性無關的。但是，對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說，V 的生成集合是一組基若且唯若 V 的任何向量可以惟一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。

如果 V 是無限維向量空間，S 是無窮集合，則 S 中的無限個向量的線性組合（如果收斂的話）不一定屬於 S 的生成空間。

例子

1、實向量空間

中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合，這個生成集合事實上是一組基。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基，因為它們不是線性無關的。

2、集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R3 的生成集合；它的生成空間是 R3 中最後一個分量為零的向量組成的空間。

3、設 V={ (x,y,z) ∈R3 |x+y-z=0 }，則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一個生成集合，也是一組基。

定理

定理 1：向量空間 V 的非空集合 S 生成的子空間是 S 中向量的所有有限線性組合；

定理 2：設 V 是一個有限維向量空間，則 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量（如果必要的話）可以簡化為 V 的一組基。

取 V 任意一組基（有限集），將這組基表示為 S 中一些向量的有限組合，只用到 S 中有限個向量，這有限個向量的生成集合包含這組基，從而包含 V，故第一步可將 S 簡化為有限集；如果 S 中向量不是線性無關的，則至少有一個向量能寫成其他向量的組合，去掉這個向量剩下的也能生成 V。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關，這便簡化為一組基了。

這也說明當 V 是有限維時，一組基是極小生成集合。