施瓦茲空間

施瓦茲空間(Schwarz space)又稱急降函式空間，是一類光滑函式空間。施瓦茲創建的分布理論是泛函分析的又一重要進展，而施瓦茲空間是分布理論中的一類重要基本函式空間。它的引入是實際需要的驅動，而並非是為了純粹數學理論的發展與完善。為了求解卷積方程，施瓦茲通過傅立葉變換將其轉化為乘積方程。這就需要定義分布的傅立葉變換，進而他引入了施瓦茲空間，從而解決了卷積方程的求解問題。他的這一研究策略蘊含著分析代數化的思想，這為做數學研究提供了一種可資借鑑的思路。這一策略也揭示出高度抽象的純粹數學不但沒有脫離實際，反而與實際問題有著密不可分的關係，而這也正是20世紀數學發展的特徵之一。施瓦茲的這一工作豐富了廣義函式理論，發展了經典的傅立葉變換，求解了卷積方程，給出了研究線性偏微分方程的新思路。

基本介紹

• 中文名：施瓦茲空間
• 外文名：Schwarz space
• 別名：急降函式空間
• 屬性：一類光滑函式空間
• 提出者：施瓦茲
• 相關概念：傅立葉變換、卷積方程等

定義

施瓦茲空間又稱急降函式空間，定義為

這裡

{為上具有直到m 階在內的連續偏導數的函式}，

在S 上引人半範數族其中

這樣，S成為一個弗雷歇空間。

我們也賦予半範數如下

則成為弗雷歇空間，並把它化為。

為了方便起見，約定微分運算元D 中已帶有因子

的傅立葉變式定義為

其中記稱映射F為S上的傅立葉變換，傅立葉變換也記為。

施瓦茲空間上傅立葉變換的重要性質

(1) 若則且

(2) 若則

而且，若在S中則必有(在S 中)，因此傅立葉變換是S到自身的連續線性映射。

(3) 傅立葉變換F的逆變換公式

對於傅立葉變換反演公式為

其中

並且為拓撲同構，進而，

故是的逆變換，一對一，且雙方連續。又據反射運算：是S到S上的同構，從而得到為拓撲同構。

(4) 設則

1.

2.

3.

4. 設則且

5. （帕塞瓦爾Parseval等式）若則

或