維格納準機率分布

維格納準機率分布 (又稱維格納方程或是Wigner–Ville distribution)是個準機率分布。 1932年，Eugene winger利用維格納準機率分布開始研究將經典統計力學用量子修正來解釋的方法。目標是連線出現在薛丁格方程里的波函式至機率分布里的相空間。

基本介紹

• 中文名：維格納準機率分布
• 外文名：Wigner–Ville distribution
• 別稱：維格納方程
• 提出時間：1932年
• 提出者：Eugene winger
• 學科：統計力學、量子力學

緒論

維格納準機率分布(又稱維格納方程或是Wigner–Ville distribution)是個準機率分布。

在給定的量子力學波函式ψ(x)，維格納準機率分布是所有空間自相關函式的一個母函式。因此1927時，赫爾曼·外爾提出在量子機率密度函式，它扮演真實相空間函式及厄密特運運算元的映射角色。事實上，它是密度矩陣中的維格納-魏爾變換，用來實現在相空間中的運運算元。後來由讓威樂在1948年重新推導成為信號的本地時頻能量的二次表示法，可以有效的作為頻譜圖。

在1949年，何塞·恩里克·莫雅爾認可它作為量子動量生成函式，因此在相空間裡，變成所有量子期望值和量子力學的一種優雅編碼的基礎，(比較時頻分析轉換關係)。它套用在統計力學，量子化學，量子光學，經典光學和信號分析，在不同的領域，如電子工程，地震，時頻分析，音樂信號，在生物學和語音處理譜圖，和發動機設計。

關於經典力學

一個經典的粒子具有確定的位置和動量，因此它是由相空間中的點表示。 在劉維爾密度中，發現粒子在相空間中特定位置的機率是由一個機率分布決定。然而由於不確定性原理，這種嚴格的解釋未能闡述量子粒子。相反地，準機率維格納分布扮演一個類似的角色，雖然並不滿足所有傳統機率分布特性但滿足經典分布不能使用有界的特性。

例如，維格納分布通常可分析負的狀態，是量子波干涉方便的指標。透過一個尺寸大於ħ的濾波器可以平滑化維格納分布，創造一個正半定的功能。

負值的區域可以被證實是小的，這些區域不能延伸到緊湊區域以外幾個ħ，所以根據經典極限論消失。由於不確定性原理不允許相空間區域小於ħ內精確位置，因此反應"負的機率"少一點的自相矛盾。

定義與意義

維格納分布P(x,p)定義如下:

其中ψ為波函式，x和p為位置和動量但也可以是任何共軛變數對（即電場的信號的或頻率和時間的實部和虛部）。也可以寫成， ，φ為ψ的傅立葉轉換。

在3D里，

一般情況下密度矩陣的維格納分布，包含混合態，

其中⟨x|ψ⟩ =ψ(x).這個維格納轉換是魏爾變換的反轉換，它映射相空間方程至希爾伯特空間。因此，維格納函式是量子力學在相空間的基石。

1949年何塞·恩里克·莫雅爾闡明維格納分布是如何提供相空間的整合測量(類似於一個機率密度分布)，讓相空間方程的期望值g(x,p)能夠由魏爾轉換(即魏爾變換和以下的性值七)以經典機率論的方法唯一的和運運算元Ĝ產生關聯。特別地，Ĝ的期望值是維格納變換的"相空間平均"，如下

數學性質

1.P(x,p)是實數

2.P(x,p)有以下的反射對稱性：

時間對稱性：

空間對稱性：

3.P(x,p)是伽利萊協變：

4. 如果沒有外力作用，在相位空間中每個點的運動方程符合經典力學：

5. 狀態重疊的計算公式：

6. 期望值運運算元被認為是維格那變換的相空間平均：

7. 利用柯西- Schwarz不等式，對於純的狀態，它被限制為有界，

維格納演進方程

對於希伯特空間的運運算元Ĝ和相空間的g(x,p)而言，維格納變換是一般的反轉換，如下：

厄密特運運算元映射至實域。它的反轉換被稱為魏爾轉換，

其他用途

• 在光學系統像是望遠鏡或光纖通訊設備中的設計，維格納方程被用來橋接簡單光線追跡和系統的全波分析之間的差距。在這方面，維格納方程是最好的方法能描述系統中的光線位置x及角度θ且包含干擾的影響。
  
• 在信號分析中，維格納方程能表示隨時間變換的電信號，機械震動或是聲波。這裡，x取代時間，p/ħ取代角頻率ω= 2πf。
  
• 在超快光學，短雷射脈衝具有維格納方程的特性，參數和上一行一樣。