約束出現

一個謂詞公式如果其中由一部分公式形如∀xA或∃xA，則凡在這部分中變元x的一切出現都叫做x在此謂詞公式中約束出現，而變元x叫此謂詞公式中的約束變元。一個謂詞公式如果其中由一部分公式內的變元x不呈約束出現，則叫x在此謂詞公式中自由出現，而此個體變元X叫此謂詞公式的自由變元。

基本介紹

• 中文名：約束出現
• 外文名：bound occurrence
• 相關概念：約束變元、合式公式、作用域等

基本介紹

合式公式

首先約定： 稱為謂詞演算公式的原子公式，其中 是項(實體、變數符號、函式)。

定義1：謂詞演算的合式公式（簡稱公式）是由原子命題、謂詞填式或由它們利用聯結詞和量詞構成的式子。

合式公式的形式定義如下：

(1) 原子命題P是合式公式；

(2) 謂詞填式 是合式公式；

(3) 若A是公式，則 A是合式公式；

(4) 若A和B是合式公式，則(A∨B)，(A∧B)，(A→B)，(A B)為公式；

(5) 若A是合式公式，x是A中出現的任何個體變元，則 為合式公式；

(6) 只有有限次使用(1)、(2)、(3)、(4)、(5)所得到的式子才是合式公式。

約束出現與約束變元

定義2 設α為任何一個謂詞演算公式， 為公式α的子公式，此時緊跟在 之後的x稱為量詞的指導變元或作用變元，α（x）稱為相應量詞的作用域，在作用域中x的一切出現均稱為約束出現，在α中除了約束出現外的一切出現均稱為自由出現。

定義3 若一個變元x在公式中有自由出現，則稱此變元為自由變元；若有約束出現，則稱為約束變元。

注意點

自由出現的變元可以在量詞的作用域中出現，但不受相應量詞的約束，所以有時我們把它看作公式中的參數。特例：若公式中無自由變元，公式即為命題。

變元在謂詞公式A中可同時有約束出現和自由出現兩種情況，而只有當x的所有出現都是約束出現時，x才為A的約束變元。

當一個謂詞公式中的所有變元均是約束出現而無自由出現，則此謂詞公式是確定的，即此謂詞公式就是命題，可以判別其真假，故呈約束出現的變元實際上已由不確定而轉為確定。

例題解析

例1 指出合式公式 的作用域、約束出現和自由出現。

解： 的作用域為： ；

的作用域為： ；

公式中的 為約束出現，第一個y和z是自由出現， 中的y為約束出現。

例2 指出下列公式中，各量詞的轄域以及變元的自由出現和約束出現：

(1)

(2)

(3)

解：

(1) 量詞 的轄域為： ，而量詞 的轄域為 。變元的自由出現和約束出現分別為：公式中的 為約束出現，z是自由出現，第一個y是自由出現，後面兩個y是約束出現。

(2) 量詞 的轄域為： 。變元的自由出現和約束出現分別為：y是自由出現，前兩個x是約束出現，最後一個x是自由出現。

(3) 量詞 的轄域為： 量詞 的轄域為 。變元的自由出現和約束出現分別為：公式中的 、 全為約束出現。