中位線

連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊邊長的一半。連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。

基本介紹

• 中文名：中位線
• 外文名：neutrality line
• 套用於：數學
• 定義：連線三角形兩邊中點的線段
• 梯形的中位線：平行於兩底

概念

(1)三角形中位線定義：連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

(2)梯形中位線定義：連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

注意：

(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開。三角形中線是連線一頂點和它對邊的中點，而三角形中位線是連線三角形兩邊中點的線段。

(2)梯形的中位線是連線兩腰中點的線段而不是連線兩底中點的線段。

(3)兩個中位線定義間的聯繫：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時梯形的中位線就變成三角形的中位線。

定理概述

三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半．

如圖，三角形兩邊中點的連線（中位線）平行於第BC邊，且等於第三邊的一半。

三角形的中位線所構成的小三角形（中點三角形）面積是原三角形面積的四分之一。

證明

例題

如圖，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。

求證DE平行且等於BC/2

法一：過C作AB的平行線交DE的延長線於F點。

∵CF∥AD

∴∠BAC=∠ACF

∵在△ADE和△CFE中

AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF

∴△ADE≌△CFE（ASA）

∴AD=CF DE=EF

∵D為AB中點

∴AD=BD

∵AD=CF、AD=BD

∴BD=CF

∵BD∥CF、BD=CF

∴BCFD是平行四邊形

∴DF∥BC且DF=BC

∵DE=EF

∴在平行四邊形DBCF中DE=BC/2

∴三角形的中位線定理成立.

法二：利用相似證

∵D，E分別是AB，AC兩邊中點

∴AD=AB/2 AE=AC/2

∴AD/AE=AB/AC

又∵∠A=∠A

∴△ADE∽△ABC

∴DE/BC=AD/AB=1/2

∴∠ADE=∠ABC

∴DF∥BC且DE=BC/2

法三：坐標法

設三角形三點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)

則一條邊長為 :根號(x2-x1)^2+(y2-y1)^2

另兩邊中點為((x1+x3)/2，(y1+y3)/2)，和((x2+x3)/2，(y2+y3)/2)

這兩中點距離為:根號((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2

最後化簡時將x3，y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半

其他題目

已知：在△ABC中，中位線EF與中線AD相交於點O，
求證：AD與EF互相平分．
證明：連線DE、DF，
∵點D、E分別是BC、AB的中點，∴DE∥AC，
同理得 DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AD與EF互相平分．

逆定理

逆定理一：

如圖DE//BC，DE=BC/2，則D是AB的中點，E是AC的中點。

逆定理二：

如圖D是AB的中點，DE//BC，則E是AC的中點，DE=BC/2

【證法①】

取AC中點G ，聯結DG

則DG是三角形ABC的中位線

∴DG∥BC

又∵DE∥BC

∴DG和DE重合（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）

(2)梯形中位線定理：梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。

中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由於它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的套用。

性質

梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半 .梯形

中位線的2倍乘高再除以二就等於梯形的面積，用符號表示是L.

l=（a+b）÷2

已知中位線長度和高，就能求出梯形的面積．

S梯=lh

中位線在關於梯形的各種題型中都是一條得天獨厚的輔助線。

證明

四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分別是AB、CD邊上的中點，求證：EF∥AD，且EF=（AD+BC）/2

證明：

梯形中位線

連線AF並延長交BC的延長線於G。

∵AD∥BC

∴∠ADF=∠GCF

∵F是CD的中點

∴DF=FC

∵∠AFD與∠CFG是對頂角

∴∠AFD=∠CFG

∴△ADF≌△GCF(AAS)

∴AF=FG，AD=CG

∴F是AG的中點

∵E是AB的中點

∴EF是△ABG的中位線

∴EF∥BG,EF=BG/2=(BC+CG)/2

∴EF=(AD+BC)/2

∵AD∥BC

∴EF∥AD∥BC

擴展

三角形三條中位線所構成的三角形與原三角形相似。