圓球坐標系，又稱球坐標系。在數學里，是一種利用球坐標表示一個點p在三維空間的位置的三維正交坐標系。
基本介紹
- 中文名：圓球坐標系
- 外文名：Spherical coordinate system
- 別名：球坐標系
- 本質：三維坐標
- 套用領域：地理、數學、物理等
- 學科：數學
標記,定義,坐標系變換,概述,圓柱坐標系,球坐標系下的積分和微分公式,套用,
標記
在學術界內，關於球坐標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定，徑向距離、天頂角、方位角，分別標記為
。這種標記在世界各地有許多使用者。通常，物理界的學者也採用這種標記。而在數學界，天頂角與方位角的標記正好相反：
被用來代表天頂角，
被用來代表方位角。數學界的球坐標標記是
。這種標記的優點是較廣的相容性；在二維極坐標系與三維圓柱坐標系里，
都同樣地代表徑向距離，
也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。
定義
假設P點在三維空間的位置的三個坐標是
。那么，0 ≤r是從原點到P點的距離，0 ≤θ≤ π是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角，0 ≤φ< 2π是從原點到P點的連線在xy-平面的投影線，與正x-軸的夾角。
這裡，
代表天頂角，
代表方位角。當時，
與
都一起失去意義。當
或
時，
失去意義。
如想要用球坐標，找出點P在空間的地點，可按照以下步驟：
1.從原點往正z-軸移動
單位，
2.用右手定則，大拇指往y-軸指，x-軸與z-軸朝其他手指的指向旋轉
角值，
3.用右手定則，大拇指往z-軸指，x-軸與y-軸朝其他手指的指向旋轉
角值。
坐標系變換
概述
三維空間裡，有各種各樣的坐標系。球坐標系只是其中一種。球坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。
使用以下等式，可從直角坐標變換為球坐標：
計算
時：
1. 必須依照
所處的象限來計算正確的反正切值。
2. 當
時，判斷
的值：
若
，則
若
，則
反過來，也可從球坐標變換為直角坐標：
圓柱坐標系
圓柱坐標系是極坐標系在三維空間往z-軸的延伸。{\displaystyle z}坐標用來表示高度。使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標
：
反過來，可以從圓柱坐標變換為球坐標：
球坐標系下的積分和微分公式
- 梯度公式：
- 散度公式：
套用
地理坐標系用兩個角值，緯度與經度，來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標系專精在平面上，二維球坐標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裡，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。
球坐標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角坐標方程式為
，可以簡易的用球坐標系
來表示。
當求解三重積分時，如果定義域為圓球，則面積元素是：
體積元素是：
球坐標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球坐標。
