現代微分運算元理論

簡介

現代微分運算元理論是20世紀50年代，由米赫林、考爾德倫(Calderon,A.P.)和贊格蒙(Zygmund,A.)等人發展起來的奇異積分運算元理論，在處理線性微分方程中顯示了它的作用。

20世紀60年代，尼倫伯格(Nirenberg,L.)、科恩(Kohn,J.J.)、赫爾曼德爾(Hormander,L.V.)及翁特伯格(Unterberger,A.)等人推廣了奇異積分運算元理論，創建了擬微分運算元理論。

繼而，又出現了傅立葉積分運算元理論。它們結合微局部分析方法，線上性微分方程理論的研究中發揮了“革命”性的作用。

到了20世紀80年代，上述理論又被推廣及套用於非線性問題的研究，其中特別是出現了仿微分運算元理論。

近年來，又提出了仿傅立葉積分運算元概念。

所有這些理論的出現，使得對微分方程理論的研究呈現嶄新的局面，並且已逐步滲透及影響著數學中其他的分支學科。它們組成了一套新的運算元理論，即所謂現代微分運算元理論。

在數學中，微分運算元是定義為微分運算之函式的運算元。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函式得到另一個函式（以計算機科學中高階函式的方式）。

當然也有理由不單限制於線性運算元；例如施瓦茨導數是一個熟知的非線性運算元。不過這裡只考慮線性情形。

最常用的微分運算元是取導數自身。這個運算元的常用記號包括：d/dx,D，這裡關於哪個變數微分是清楚的，以及D_x，這裡指明了變數。一階導數如上所示，但當取更高階n-次導數時，下列替代性記號是有用的：dⁿ/dxⁿ,Dⁿ,D_xⁿ。

線性方程：在代數方程中,僅含未知數的一次冪的方程稱為線性方程。這種方程的函式圖象為一條直線，所以稱為線性方程。可以理解為：即方程的最高次項是一次的，允許有0次項，但不能超過一次。比如ax+by+c=0，此處c為關於x或y的0次項。

微分方程：含有自變數、未知函式和未知函式的導數的方程稱為微分方程。

如果一個微分方程中僅含有未知函式及其各階導數作為整體的一次冪,則稱它為線性微分方程。可以理解為此微分方程中的未知函式y是不超過一次的，且此方程中y的各階導數也應該是不超過一次的。