特殊三角形

等腰三角形和直角三角形都是特殊三角形,具有一般三角形的性質,同時具有一般三角形所不具備的特殊性,這些特性在幾何證明中有著極為重要的套用價值,也是研究其他三角形和多邊形的基礎. 利用等腰三角形的軸對稱性,“三線合一”等性質探求解題途徑

基本介紹

• 中文名：特殊三角形
• 外文名：Special triangle
• 種類：等腰三角形 直角三角
• 拼音：teshusanjiaoxing
• 套用範圍：幾何證明
• 性質：一般三角形的特殊形式

直角三角形

英文名：right triangle

1）直角三角形的定義：有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質。又叫Rt三角形。

2）直角三角形的性質：

（1）直角三角形兩個銳角互余；

（2）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半；

（3）在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半；且三邊比為1比根號3比2；

（4）在直角三角形中，如果有一條直角邊等於斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等於30°；

（5）在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，即a²+b²=c²(勾股定理)；

（6）直角三角形斜邊上的高h等於該直角三角形外接圓半徑斜邊上的中線等於該直角三角形內切圓半徑.

( 7) 直角三角形的垂直平分線交於斜邊的中點。

（8）直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

3)直角三角形的判定：

（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形；

（2）一個三角形,如果這個三角形一邊上的中線等於這條邊的一半,那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形；

（3）若a^2+b^2=c^2，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊直角三角形（勾股定理的逆定理）；

（4）若三角形30°內角所對的邊是某一邊的一半 ,那么這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形；

（5）兩個銳角互余的三角形是直角三角形.

4）直角三角形角的性質

若直角三角形ABC中∠C=90°，則

sinA=cosB，sinB=cosA，sinA=cos（90°-A）=sin（180°-A）

cosA=sin（90°-A）=-cos（180°-A）

tanA=-tan（180°-A）

對於特殊角30°，45°，60°，15°，75°，90°

sin30°=cos60°=1/2

sin45°=cos45°=√2/2

sin60°=cos30°=√3/2

sin75°=cos15°=（根號6+根號2）/4 cos75°=sin15°=（根號6-根號2）/4

tan75°=2+根號3 tan15°=2-根號3

sin90°=1 cos90°=0 tan90°=無限大

等腰三角形

英文名：isosceles triangle

1)等腰三角形的定義：

有兩邊相等的三角形是等腰三角形

2）等腰三角形的性質：

1.等腰三角形的兩個底角相等。 （簡寫成“等邊對等角”）

2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成“三線合一”）

3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）

4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半

6等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等於一腰上的高(需用等面積法證明)

7等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸

3）.等腰三角形的判定：

有兩條邊相等的三角形是等腰三角形

有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）

在一個三角形中，一邊上的高線與此邊上的中線，及此邊對角角平分線中任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。

等邊三角形

英文名：equilateral triangle

等邊三角形也稱正三角形。

1)等邊三角形的定義：

有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。

2)等邊三角形的性質：（具有等腰三角形的所有性質，結合定義更特殊）

1等邊三角形的內角都相等，且為60度

2等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一）

3等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，對稱軸是每條邊上的中線、高線或所對角的平分線所在直線

3）等邊三角形的判定：（首先考慮判斷三角形是等腰三角形）

（1）三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）

（2）三個內角都相等的三角形是等邊三角形 ,且每個角都為60°

（3）有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形

等腰直角三角形

定義

等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質：穩定性，兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45，斜邊上中線角平分線垂線 三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45度，高又垂直於斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；那么設內切圓的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為（根號2加1），所以r:R=1:（根號2加1）。

關係

等腰直角三角形的邊角之間的關係 ：

（1）三角形三內角和等於180°；

（2）三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和；

（3）三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角；

（4）三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊；

（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.

等腰直角三角形中的四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線.

（1）三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等.　（三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等）.

（2）三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的2倍。

（3）三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

（4）三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。

注意！①三角形的內心、重心都在三角形的內部

.②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。

（直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊　中點。）④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。

黃金三角形

名稱定義

所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值；對應的還有：黃金矩形等。

黃金三角形的分類

黃金三角形分兩種： 一種是等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°；這種三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：(√5-1)/2. 另一種也是等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：(√5-1)/2

黃金三角形的特徵

黃金三角形是一個等腰三角形，它的頂角為36°，每個底角為72°.它的腰與它的底成黃金比．當底角被平分時，角平分線分對邊也成黃金比，並形成兩個較小的等腰三角形．這兩三角形之一相似於原三角形，而另一三角形可用於產生螺旋形曲線．

黃金三角形的一個幾何特徵是：它是唯一一種能夠由5個與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

把五個黃金三角形稱為“小三角形”，拼成的相似黃金三角形稱為“大三角形”。則命題可以理解為：五個小三角形能夠不重疊又不超出地充滿大三角形。要滿足這種填充，必要條件之一是大三角形的每條邊都可以由若干條小三角形的邊相加而成。

根據定義，第一種黃金三角形是腰與底的比值為(√5+1)/2的等腰三角形，頂角為36°，底角為72°。

設小三角形的底為a，則腰為b=(√5+1)a/2，因為大三角形的面積為小三角形的5倍。則大三角形的邊長

為小三角形對應邊長的√5倍，即大三角形的底為A=√5 a，腰為B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

大三角形的腰B與小三角形邊的關係滿足：

B=2a+b

而大三角形的底A與小三角形邊的關係可列舉如下：

2ab<A<b+a

可見大三角形底邊的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超地來填充（圖1）。故命題錯。

另外一種黃金三角形是腰與底的比值為(√5-1)/2的等腰三角形，頂角為108°，底角為36°。

設小三角形的底為a，則腰為b=(√5-1)a/2。

同樣可以證明：

A=2b+a

2b<B<3b

a<B<b+a

可見大三角形腰的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超出地填充（圖2）。故命題錯。

事實上，勾為a，股為b=2a的<a>直角三角形可以滿足命題要求。

顯然，弦c=√a2+b2 =√5 a

大三角形的對應邊：

A=√5 a=c

B=2A=2c

C=√5 *(√5a)=5a=2b+a

滿足上述必要條件。是否成立還要驗證，結果是對的（圖3）。本三角形是否唯一滿足命題還不清楚。

頂角36°的黃金三角形按任意一底角的角平分線分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個的2倍。頂角是108°的黃金三角形把頂角一個72°和一個36°的角，這條分線也把黃金三角形分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角也是另一個的2倍。

勒洛三角形

勒洛三角形，也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由Franz Reuleaux,一個十九世紀的德國工程師命名。