無環條件

無環條件(no cycle condition)是Ω穩定性的基本條件之一，描述了動力系統的不變集之間的關係。通常所說公理A系統滿足無環條件或具有無環性質是指：Ω(f)的譜分解的基本集關於一種關係是無環的，即基本集滿足無環條件。在Ω穩定性研究中，無環條件的提出是以Ω爆炸為其背景的，已經證明：滿足公理A和無環條件的系統是Ω穩定和拓撲Ω穩定的，並且Ω穩定蘊涵滿足公理A和無環條件。

基本介紹

• 中文名：無環條件
• 外文名：no cycle condition
• 屬性：Ω穩定性的基本條件之一
• 所屬學科：數學（動力系統）
• 相關概念：基本集、Ω穩定性、不變集等

基本介紹

無環條件(no cycle condition)是 穩定性的基本條件之一，描述了動力系統的不變集之間的關係。設M是緊緻流形， 是同胚， 是兩兩不相交的 的閉不變集。在這些集合間定義如下所述的一種關係“ ”：

這裡

和 分別稱為 的穩定集和 的不穩定集。如果存在兩兩不相同的 使得

則稱 形成了一個環。如果在 中不存在任何環，則稱關係“ ”是無環的。對M上的連續流 而言，其無環性可如下說明：如果 是兩兩不相交的 的閉不變集，在這些集合間定義如下所述的一種關係“ ”∶ ⇔對某 有 。於是，如上可定義關係“ ”的無環性。通常所說公理A系統滿足無環條件或具有無環性質是指： 的譜分解的基本集關於關係“ ”是無環的，即基本集滿足無環條件。在Ω穩定性研究中，無環條件的提出是以Ω爆炸為其背景的。已經證明：滿足公理A和無環條件的系統是Ω穩定和拓撲Ω穩定的，並且Ω穩定蘊涵滿足公理A和無環條件。

相關概念

基本集

基本集(basic set)是動力系統研究的重要不變集之一，它是根據公理 系統譜分解的基本集所具有的動力學性質而抽象出來的概念。設 是微分流形， 是微分同胚，如果 的一個閉不變集 滿足;

1. 是雙曲的；

2. 周期點在 中稠密；

3. 在 上是拓撲傳遞的；

4. 存在開集 使得

則稱 是基本集，對M上的可微流 設 是 的閉不變集，如果 是一個雙曲奇點，或者 滿足：

1. 是雙曲的且不含奇點；

2. 中周期軌道上的點在 中稠密；

3. 在 上是拓撲傳遞的；

4. 存在開集 使得

則稱 是基本集，在動力系統的研究中，對基本集的理解一般認為它不是單獨的一個雙曲不動點(雙曲奇點)。基本集的作用在於它在很大程度上確定了系統的軌道結構。

Ω穩定性

拓撲Ω穩定性(topological Ω-stability)亦稱Ω半穩定性，通常是用來描述系統在小擾動下非遊蕩集的穩定性質的.

圖1

設M是緊緻度量空間，是同胚，如果對任意存在使對任一同胚，只要就存在連續滿射(其中表示(·)的非遊蕩集)，滿足：

1.，即上圖可交換；

2.；

則稱是拓撲穩定的。

對M上的連續流而言，其定義如下：設φ是M上的連續流，如果對任意存在使得對M上任一連續流ψ，只要對任意有就存在連續滿射滿足：

1.對任h將ψ過x的軌道映到φ過的軌道上；

2.

則稱φ是拓撲穩定的。公理A和無環條件蘊涵著拓撲穩定性。