不變集

不變集(invariant set)是動力系統中的重要概念之一，是動力系統研究的重要對象。

對於自治系統x(k+1)=f(x(k)),如果x(0)∈Ω，有x(k)∈Ω，k=1，2，…，即如果在某一時刻系統狀態屬於集合Ω，則其以後的狀態仍然屬於該集合，則稱Ω是系統的一個不變集。

基本介紹

• 中文名：不變集
• 外文名：invariant set
• 所屬領域：動力系統

定義

一個集合稱為一個動態系統的不變集，如果從中一個點出發的軌線永遠留在中。

例如任一平衡點是一個不變集，一個平衡點的吸引域也是一個不變集。一個平凡不變集是整個狀態空間。

對於一個自治系統，狀態空間的任何一條軌線都是一個不變集。由於極限環是一種特殊的系統軌線(相平面的閉曲線)，它們也是不變集。

不變集定理不僅使我們在負半定的情況下得到漸近穩定的結論，同時，也可以將用李雅普諾夫函式描述性態收斂的方法從平衡點推廣到更一般的情況，例如收斂到極限環。

這裡先講局部不變集定理，然後討論全局情況。

局部不變集定理

局部不變集定理反映這樣一種直覺：李雅普諾夫函式V必須會逐漸消失(即會收斂於0)，因為V是下有界的。這個結果可準確敘述如下：

定理1(局部不變集定理) 考查一個形如(3.2)的自治系統，這裡是連續的，設V(x)為一個有連續一階偏導數的標量函式，並且

(1) 對任何，由定義的為一個有界區域；

(2)。

設R為內使的所有點集合，M為R中的最大不變集，那么當時從出發的每一個解均趨於M。

在上述定理中，“最大”一詞指在集合論意義下的最大，即M是R內所有不變集(包括平衡點、極限環)的並集。如果集合R本身是不變的(即一旦，則此後)，那么M=R。同時也請注意，這裡V雖然還叫做李雅普諾夫函式，但不要求它正定。

定理的幾何意義的表明如圖1所示，其中，從右界區域中出發的軌線收斂到更大不變集合M中。注意，集合R既不一定是連通的，也不是集合M。

圖1. 對最大不變集M的收斂

這個定理可以分兩步證明：首先指出趨於零，然後再證明狀態收斂於中的最大不變集。這裡只給出證明的思路，詳細證明過程可參考相應書籍。

證明：第一部分要證明對任何一條由出發的軌線皆有，它要用到Barbalat引理。證明的第二部分，包括證明所有軌線都不會收斂於R的其他地方，而只會收斂於R中的最大不變集M。這可以通過先證明自治系統的任一有界軌線收斂於一個不變集(稱為軌線的正不變集)，再證明這個集合是最大不變集M的子集來完成。

局部李雅普諾夫定理可以看作上述不變集定理的特例，即M集只含原點。

全局不變集定理

前述的不變集定理及其推論可以簡單地推廣到全局的情況，條件是將的有界性改變為標量函式V徑向無界。

定理2(全局不變集定理) 考查自治系統(3.2)，這裡連續，設為帶有連續一階偏導數的標量函式，並且

(1)（當時）；

(2)對所有。

記R為所有使的點的集合，M為R中最大不變集，那么，當時所有解全局漸近收斂於M。