漸近線(曲線的漸近線)

漸近線(曲線的漸近線)

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漸近線是指:曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時,如果M到一條直線的距離無限趨近於零,那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。可分為鉛直漸近線、水平漸近線和斜漸近線

基本介紹

定義,特點,分類,求法,示例,相關結論,

定義

當曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時,如果M到一條直線的距離無限趨近於零,那么這條直線稱為這條曲線的漸近線
數學上的定義則是:若函式
的圖形收斂,則漸近線為

特點

漸近線分為垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線
需要注意的是:並不是所有曲線都有漸近線,漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況。

分類

根據漸近線的位置,可將漸近線分為三類:水平漸近線、鉛直漸近線、斜漸近線
對於拋物線來說,如果當
時,
(
),而且
一般為間斷點,就把
叫做的鉛直漸近線;
如果當
時,
,就把
叫做的水平漸近線。例如,y = 3是曲線y =
+ 3的水平漸近線;
如果當
時,
,其中a和b為常數,那么
就是
的一條斜漸近線。

求法

求漸近線,可以依據以下結論:
雙曲線兩漸近線夾角一半的餘弦等於a/c且2c為兩焦點的距離,2a為軌跡上的點到焦點的距離差。
極限
存在,且極限lim[f(x)-ax,x→∞]=b也存在,那么曲線y=f(x)具有漸近線y=ax+b。
例:求
漸近線。
解:(1)x = - 1為其垂直漸近線。
(2)
,即a = 1;
,即b = - 1;
所以y = x - 1也是其漸近線。

示例

例如,直線
雙曲線
的漸近線,因為雙曲線上的點M到直線的距離MQ<MN;當MN無限趨近於0時,MQ也無限趨近於0。所以按照定義,直線是該雙曲線的漸近線。同理,雙曲線也是該直線的漸近線。

相關結論

1.與x^2/a^2-y^2/b^2=1漸近線相同的雙曲線的方程,有無數條(且焦點可能在x軸或y軸上);
2.與x^2/a^2-y^2/b^2=1漸近線相同的雙曲線可設為x^2/a^2-y^2/b^2=N,進行求解;
3.x^2/a^2-y^2/b^2=1的漸近線方程為
b/a*x=y;
4.y^2/a^2-x^2/b^2=1的漸近線方程為
a/b*x=y。

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