光滑概形

光滑概形(smooth scheme)是光滑代數簇概念的推廣。設X是域k上的有限型概形，若k'是k的代數閉包，X的基擴張Xk'是正則概形，則稱X是光滑概形。

一個域的最大代數擴域。若域F的代數擴域Ω為代數閉域，則稱Ω為域F的一個代數閉包。一個域F的代數閉包總是存在的，並且在F同構意義下惟一。這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.)。設K是域F的擴域，在K中F上代數元的全體組成的子域A稱為F在K內的代數閉包，它是F在K內的最大代數擴域。特別地，若F=A，則稱F在K內是代數閉的。

基本介紹

• 中文名：光滑概形
• 外文名：smooth scheme
• 領域：數學
• 性質：光滑代數簇概念的推廣
• 形成條件：有限型概形
• 對象：代數閉包

概念

光滑概形(smooth scheme)是光滑代數簇概念的推廣。設X是域k上的有限型概形，若k'是k的代數閉包，X的基擴張X_k-是正則概形，則稱X是光滑概形。當k是完全域時，正則k概形與光滑k概形是一致的。仿射k空間A_k和射影k空間P_k都是光滑k概形的例子。若概形X是在仿射k空間A_k內由方程 <

br>F_i(X₁，X₂，…，X_m)=0 (i=1，2，…，n)

所給出，則X是光滑k概形，若且唯若雅可比矩陣(F_i/X_j)在X的每一個點x的秩等於X在x的余維數。

正則概形是光滑代數簇的推廣。若概形(X，O_X)在每個點x∈X的局部環O_X，x都是正則局部環，則稱為正則概形。若X是代數閉域上的代數簇，則正則性和非異性是等價的。

代數簇

設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△_X/Y： X→X_xYX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Y_λ|λ∈∧} 使得每個X_λ=f(Y_λ) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而X_λj=SpecB_λj，Yλ=SpecA_λ每個B_λj是有限生成的A_λ代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=Spec_R[X]，則稱為有理函式，X上所有有理函式的集合記作Rat_R(X)。若V是域k上的代數簇，則Rat_R(V)稱為V的函式域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個群，稱為V的雙有理同構群。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。

概形

概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，O_X)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{X_i}_i∈I，使得(X_i，O_X|X_i)同構於仿射概形Spec Γ(X_i，O_X)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射.概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{X_i}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形.帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形.顯然任何概形都是Z概形.給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形X_S′=X×_SS′，稱為S概形X的基擴張.與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念.S概形與態射f：X→S密切相關.不同性質的態射就給出了不同的S概形.例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×_SX是閉態射，則稱f是分離態射;若存在S的一個仿射開覆蓋{U_i}={Spec B_i}，使得每個f(U_i)都有一個有限仿射開覆蓋{V_ij}={Spec A_ij}，並且A_ij都是有限生成B_i代數，則稱f是有限型的;若f(U_i)=Spec A_i，A_i都是有限生成B_i模，則稱f是有限態射.有限態射是仿射態射.代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的.

代數閉包

一個域的最大代數擴域.若域F的代數擴域Ω為代數閉域，則稱Ω為域F的一個代數閉包。一個域F的代數閉包總是存在的，並且在F同構意義下惟一.這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.).設K是域F的擴域，在K中F上代數元的全體組成的子域A稱為F在K內的代數閉包，它是F在K內的最大代數擴域.特別地，若F=A，則稱F在K內是代數閉的.

代數閉包是實線性空間中的集合的代數意義下的閉包。設A為實線性空間X中的集合.A的代數閉包是指這樣的點b∈X的全體：存在h∈X，對於任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代數閉包常記為acl(A).如果A=acl(A)，那么A稱為代數閉集.它也是X在以代數開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數閉集的余集必定是代數開集;反之亦然.代數閉包的概念在敘述凸集分離定理時也起重要作用.

有的文獻定義代數閉包時，要求對於任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.這時代數閉集就不再是代數開集的余集.但當A是多於一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數閉包是相同的.