分別以△ABC的三邊為一邊，向形外作正三角形BCA1，CAB1，ABC1，則AA1，BB1，CC1相交於一點T，則稱T為△ABC的正等角中心，當△ABC各內角均小於120°時，正等角中心到三頂點的距離之和最小。正等角中心和托里拆里點實際上為同一點，只不過前者是從共點線角度來提出，而後者知是從共點圓角度提出的。當三角形各內角均小於120°時，正等角中心又和費爾瑪點重合， 費爾瑪點是從幾何極值角度提出的。
基本介紹
- 中文名：正等角中心
- 外文名：positive isogonal centre
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何(三角形)
- 別稱：費馬點
- 簡介：三角形的巧合點之一
基本介紹,正等角中心的證明,
基本介紹
正等角中心(positive isogonal centre)亦稱費馬點，是三角形的巧合點之一。若分別以△ABC的三邊為邊，向形外作正三角形ABC′，BCA′，CAB′，則三直線AA′，BB′，CC′交於同一點P，並形成以P為頂點的六個相等的角，每個角等於60°(如圖1)，點P稱為△ABC的正等角中心，當△ABC每個內角都小於120°時，正等角中心是到三頂點距離之和為最小的點，正等角中心早在古希臘時代已被發現，公元17世紀時，費馬(Fermat，P.de)曾提出這樣的征解問題：求一點，使與定三角形三頂點的距離和為極小。因此，各角均小於120°的三角形的正等角中心又稱費馬點。
圖1正等角中心的證明
若在△ABC的外邊作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC' (圖2)，則AA'、BB'、CC'三點共點。
圖2（a）這點叫做△ABC的正等角中心，是三角形的巧合點之一，早在希臘時代已被發現。公元十七世紀時。法國數學家費馬(Fermat，1601-1665年)曾提出一問題征解，問題是“求一點，使與定三角形三頂點的距離和為極小”。當三角形的三個角均小於120°的時候(圖2中)，問題的解答正是三角形的正等角中心。因此各角均小於120°的三角形，它的正等角中心又有費馬點之稱。
圖2（b）
圖2（c）題設 在△ABC的外邊作正三角形△BCA'、△CAB'、△ABC'。
題斷 AA'、BB'、CC" 三線共點。
思索方法 在AA'、 BB'、CC'三線中，如果其中兩線的交點是△ABC的頂點之一(當△ABC有一角等於120°時)，則問題已顯而易見。現在假定BB'與CC'的交點是O，連OA和OA'。 由題設，易知△ABB'與△AC'C契約，因而A與BB'、C'C等距。那么OA是∠B'OC'或∠BOC的平分線(就圖2來看)。於是若能證OA'是∠BOC的平分線，問題便解決了。為要考究這一點，我們想到圖形中有許多60°的角，應該設法利用它們。從上述兩個契約三角形的對應角相等這個關係看來，我們馬上發覺∠COB'= ∠CAB'= 60°， 由此可見O、B、A'、C四點同在一圓上。這就證實了我們剛才的希望沒有落空。
證明分三種情形證明如下：
1° 假定△ABC有一角例如A角等於120° (圖2（a）)。這時BAB'與CAC'顯然都是直線，因而AA'、BB'、CC'三線會於A點是十分明白的。
2° 假定△ABC各角均小於120° (圖2（b）)。這時BB'、CC'兩線顯然交於△ABC內部一點O，連OA和OA'。由題設，AB= AC'，AB'= AC，且
∠BAB'=∠BAC+∠CAB'=∠BAC+∠C'AB=∠C'AC，
故 △ABB'≌△AC'C。
由此得知A與BB'、C'C等距，那么OA是∠B'OC'的平分線。
在契約三角形△ABB'與△AC'C中，有∠AB'O=∠ACO。因此A、B'、C、O四點同在一圓上，從而∠COB'= ∠CAB'= 60°。但據題設，∠CA'B= 60°，可見四邊形OBA'C有外接圓。這樣一來，由A'B=A'C，便知OA'是∠BOC的平分線。
以上的結果，證明了A、O、A'三點是共線的。這就是說，AA'、BB'、CC'三線會於O點。
3° 假定△ABC有一角例如A角大於120° (圖2（c）)。這時BB'、CC'兩線將交於△ABC外部一點O(O、A同在BC的一側)，連OA和OA'。仿上面的步驟，可以證明，△ABB'與△AC'C契約及四邊形OBA'C有外接圓，因此OA，OA'同為∠BOC的平分線。於是OA和OA'必然合而為一，所以題斷成立。
