費馬點

“費馬點”是指位於三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點。

若給定一個三角形△ABC的話，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點算起的都要小。

這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。

基本介紹

• 中文名：費馬點
• 外文名：Fermat point
• 別稱：托里拆利點、斯坦納點
• 提出者：皮耶·德·費瑪
• 提出時間：1643年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：平面幾何
• 適用領域範圍：數學、測量學

定義

1.若三角形3個內角均小於120°，那么3條距離連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。

（托里拆利的解法中對這個點的描述是：對於每一個角都小於120°的三角形ABC的每一條邊為底邊，向外作正三角形，然後作這三個正三角形的外接圓。托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點，而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。這個點因此也叫做托里拆利點。）

2.若三角形有一內角大於等於120°，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。

相關計算

S為面積

尺規作圖法

（1）根據定義，首先判斷給定三角形的三個內角是否均小於120°.

1.以任意半徑畫圓0，並作出圓的一條直徑AB。

2.以點A（或點B）為圓心，OA（或OB）為半徑畫出圓A（或圓B）

3.兩圓相交於C點，聯結AC，BC

4.則∠CBA或∠CAB為30°，∠C為90°，兩角相加即為120°

（2）若大於等於120°，則該鈍角頂點即為該三角形的費馬點

（3）若三角形的三個角均小於120°，則繼續做以下步驟

1.以三角形任意一邊a向外做等邊三角形

2.找出該等邊三角形的外心，並作出外接圓

3.聯結a邊所對的兩個頂點(連線AD)

4.該連線與外接圓交點即為該三角形的費馬點

【步驟3證明】

1. 如圖，E，B，D，C 四點共圓，∠D=60°，所以∠BEC=180°-∠D=120°
2. 弧BD所對的圓周角∠BED=∠BCD=60°，所以∠AEB=120°

向量表示

F為三角形ABC的費馬點，O為任意一點，則

判定

（1）對於任意三角形△ABC內或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則取到最小值時E為費馬點。

費馬點的計算

三角形費馬點

法一：

如右圖，在△ABC中，P為其中任意一點。連線AP，BP，得到△ABP。

以 點B為旋轉中心，將 △ABP逆時針旋轉 60°，得到△EBD

∵旋轉60°，且BD=BP，

∴△DBP 為一個等邊三角形

∴PB=PD

因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC

由此可知當E、D、P、C 四點共線時， 為PA+PB+PC最小

若E、D、P共線時，

∵等邊△DBP

∴∠EDB=120°

同理，若D、P、C共線時，則 ∠CPB=120°

∴P點為滿足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的點。

法二：

如圖，以△ABC三邊為邊向外作等邊△ABD、△BCE、△ACF，

連線CD、BF、AE交於點O，試證：O是費馬點。

證明：在△ACD、△ABF中，

AD=AB

∠DAC=∠BAF

AC=AF

∴△ACD≌△ABF(SAS)

∴∠ADC=∠ABF

∴A、B、O、D四點共圓。

∴∠AOB=120°。

同理可得，∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°。

過點A、B、C作OA、OB、OC的垂線交於三點R、S、T，易知△RST

是正三角形。

在△ABC內作異於O一點G，作RS、ST、RT的垂線GX、GY、GZ，連

接GA、GB、GC。

易用面積法得：OA+OB+OC=GX+GY+GZ。

∵點到線之間，垂線段最短，

∴OA+OB+OC=GX+GY+GZ<GA+GB+GC

∴點O是費馬點。

四邊形費馬點

平面四邊形中費馬點證明相對於三角形中較為簡易，也較容易研究。

（1）在凸四邊形ABCD中，費馬點為兩對角線AC、BD交點P。

（2）在凹四邊形ABCD中，費馬點為凹頂點D（P）。

平面四邊形費馬點證明圖形

經過上述的推導，我們即得出了三角形中費馬點的找法：當三角形有一個內角大於或等於120°的時候，費馬點就是這個內角的頂點；如果三個內角都在120°以內，那么，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120°的點。另一種更為簡捷的證明 ：設O為三頂點連線最短點，以A為圓心AO為半徑做圓P。將圓P視作一面鏡子。顯然O點應該為B出發的光線經過鏡子到C的反射點（如果不是，反射點為O',就會有BO’+ CO' < BO+ CO，而AO’= AO，就會有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO）。

不失一般性。O點對於B、C為圓心的鏡子也成立。因此根據對稱性AO、BO、CO之間夾角都是120°

（補充說明：AO、BO、CO是每個鏡子的法線）

費馬點

Ps:費馬點是到三角形三個頂點距離的和最小的點；

而三角形的重心是到三角形三個頂點距離的平方和最小的點。

要有所區別

歷史背景

皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱業餘，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。他的姓氏根據法文與英文實際發音也常譯為“費爾瑪”（注意“瑪”字）。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名“最後”的意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。

著名的數學史學家貝爾（E. T. Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為”業餘數學家之王“。貝爾深信，費馬比皮耶·德·費馬同時代的大多數專業數學家更有成就，然而皮耶·德·費馬並未在其他方面另有成就，本人也漸漸退出人們的視野，考慮到17世紀是傑出數學家活躍的世紀，因而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。

費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點或斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯合數學的發展，在近代數學史上具有里程碑式的意義。