基本介紹
- 中文名：正定矩陣
- 外文名：positive definite matrix
- 別稱：正定陣
- 學科：線性代數
- 釋義：正定二次型的矩陣
- 屬性：高等數學術語
定義,正定矩陣,對稱正定矩陣,性質,等價命題,充要條件,判定的方法,套用,
定義
正定矩陣
（1）廣義定義：設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zMz> 0，其中z 表示z的轉置，就稱M為正定矩陣。
例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）
對稱正定矩陣
設
，若
，對任意的
，都有
，則稱A為對稱正定矩陣。
Hermite正定矩陣
設，若
，對任意的
，都有
，則稱A為Hermite正定矩陣。
性質
正定矩陣有以下性質：
（1）正定矩陣的行列式恆為正；
（2）實對稱矩陣A正定若且唯若A與單位矩陣契約；
（3）若A是正定矩陣，則A的逆矩陣也是正定矩陣；
（4）兩個正定矩陣的和是正定矩陣；
（5）正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
等價命題
對於n階實對稱矩陣A，下列條件是等價的：
（1）A是正定矩陣；
（2）A的一切順序主子式均為正；
（3）A的一切主子式均為正；
（4）A的特徵值均為正；
（5）存在實可逆矩陣C，使A=C′C；
（6）存在秩為n的m×n實矩陣B，使A=B′B；
（7）存在主對角線元素全為正的實三角矩陣R，使A=R′R。
充要條件
(1)n 元實二次型
正定
它的正慣性指數為 n；
(2) 一個實對稱矩陣 A 正定A 與 E 契約，即
可逆矩陣 C，使得
；
(3) 實二次型
是正定的A的順序主子式全大於零；
(4) 一個實對稱矩陣 A 正定A 的特徵值全大於零；
(5) 一個實對稱矩陣 A 正定A 的順序主子式全大於零；
(6)A ，B 是實對稱矩陣，則
正定A，B均正定；
(7)A 實對稱矩陣， A 正定正定矩陣 B，使得
，（k 為任意正整數）。
判定的方法
根據正定矩陣的定義及性質，判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法：
（1）求出A的所有特徵值。若A的特徵值均為正數，則A是正定的；若A的特徵值均為負數，則A為負定的。
（2）計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大於零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則A為負定的。
套用
對於具體的實對稱矩陣，常用矩陣的各階順序主子式是否大於零來判斷其正定性；對於抽象的矩陣，由給定矩陣的正定性，利用標準型，特徵值及充分必要條件來證相關矩陣的正定性。
