埃爾米特矩陣

定義

n階複方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等於它本身，則A是埃爾米特矩陣(Hermitian Matrix)。顯然埃爾米特矩陣是實對稱陣的推廣。

A=A^H

（1）n階埃爾米特矩陣A為正定（半正定）矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於（大於等於）0。

（2）若A是n階埃爾米特矩陣，其特徵值對角陣為V，則存在一個酉矩陣U，使AU=UV。

（3）若A是n階埃爾米特矩陣，其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和。

（4）斜埃爾米特矩陣為A的共軛轉置為-A

斜埃爾米特矩陣的特徵值全是實數。更進一步，斜埃爾米特矩陣都是正規矩陣。因此它們是可對角化的，它們不同的特徵向量一定是正交的。

1.若A和B是埃爾米特矩陣，那么它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。

2.可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣仍然是埃爾米特矩陣。

3.如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n，

是埃爾米特矩陣。

4.方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。

5.方陣C與其共軛轉置的差是斜埃爾米特矩陣。

6.任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。

7.埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組的正交基。

8.n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數為

的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之上的元素有兩個自由度。

9.如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數，那么這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣。

斜埃爾米特矩陣的主對角線上的所有元素都一定是實數。

如果A是斜埃爾米特矩陣，那么iA是埃爾米特矩陣。

如果A, B是斜埃爾米特矩陣，那么對於所有的實數a, b，aA + bB也一定是斜埃爾米特矩陣。

如果A是斜埃爾米特矩陣，那么對於所有的正整數k，A2k都是埃爾米特矩陣。

如果A是斜埃爾米特矩陣，那么A的奇數次方也是斜埃爾米特矩陣。

如果A是斜埃爾米特矩陣，那么e^A是酉矩陣。