正切

正切

在Rt△ABC(直角三角形)中,∠C=90°,AB是∠C的對邊c,BC是∠A的對邊a,AC是∠B的對邊b,正切函式就是tanB=b/a,即tanB=AC/BC。

基本介紹

  • 中文名:正切
  • 外文名:tangent(簡寫tan,舊為tg)
  • 屬於三角函式
  • 研究學科:數學
  • 值域:整個實數集
  • 定義域:{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
三角函式,相關知識,六種基本函式,同角三角函式,恆等變形公式,倍角公式,三倍角公式,半角公式,降冪公式,萬能公式,積化和差公式,和差化積公式,其他,正切函式圖像的性質,特殊角,正切定理,

三角函式

三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列極限和微分方程的解,將其定義擴展到複數系。
三角函式示意圖三角函式示意圖
由於三角函式的周期性,它並不具有單值函式意義上的反函式
三角函式在複數中有較為重要的套用。在物理學中,三角函式也是常用的工具。
在Rt△ABC中,如果銳角A確定,那么角A的對邊與鄰邊的比值隨之確定,這個比叫做角A的正切,記作tanA。
即:tanA=∠A的對邊/∠A的鄰邊

相關知識

六種基本函式

正弦函式 sinθ=y/r
餘弦函式 cosθ=x/r
正切函式 tanθ=y/x
餘切函式 cotθ=x/y
正割函式 secθ=r/x
餘割函式 cscθ=r/y

同角三角函式

(1)平方關係:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
(2)積的關係:
sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα
(3)倒數關係:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1

恆等變形公式

兩角和與差的三角函式:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

積化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

其他

tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得):
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
tanA·tanB=1

正切函式圖像的性質

定義域:{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域:R
奇偶性:有,為奇函式
周期性:有
最小正周期:kπ,k∈Z
單調性:有
單調增區間:(-π/2+kπ,+π/2+kπ),k∈Z
單調減區間:無

特殊角

tan15°
2-√3
tan30°
√3/3
tan45°
1
tan60°
√3
tan75°
2+√3

正切定理

在平面三角形中,正切定理說明任意兩條邊的和除以第一條邊減第二條邊的差所得的商等於這兩條邊的對角的和的一半的正切除以第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。
法蘭西斯·韋達(François Viète)曾在他對三角法研究的第一本著作《套用於三角形的數學法則》中提出正切定理。現代的中學課本已經甚少提及,例如由於中華人民共和國曾經對前蘇聯和其教育學的批判,在1966年至1977年間曾經將正切定理刪除出中學數學教材。不過在沒有計算機的輔助求解三角形時,這定理可比餘弦定理更容易利用對數來運算投影等問題。
正切定理: (a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
證明 由下式開始:
正弦定理得出
正切函式直角三角形中,對邊與鄰邊的比值。放在直角坐標系中(如圖)即 tanθ=y/x
也有表示為tgθ=y/x,但一般常用tanθ=y/x(由正切英文tangent(讀作英[ˈtændʒənt] 美[ˈtændʒənt])簡寫得來)。曾簡寫為tg, 現已停用,僅在20世紀90年代以前出版的書籍中使用。
定義圖定義圖

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們