歐幾里得引理

在數論中，歐幾里得引理是根據歐幾里得的《幾何原本》第七卷的命題30推出的一個定理。這個引理說明：如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積，第一個整數與第二個整數互質，那么第一個整數整除第三個整數。可以這樣表達這個引理：如果a|bc ，gcd(a,b)=1 那么 a|c。命題30是這樣說的：如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那么這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。如果 p|bc，那么p|b或者p|c。

基本介紹

• 中文名：歐幾里得引理
• 外文名：Euclid's lemma
• 相關文獻：歐幾里得的《幾何原本》
• 提出人：歐幾里得
• 領域：初等數論
• 簡述：如果a|bc，gcd(a,b)=1，那么a|c
• 所屬學科：數學

表述1及證明

(歐幾里得引理)設是域，，如果是中的不可約多項式，且，則要么

要么

更一般地，如果，則有某個使得。

證明概要： 假定但，因是不可約的，所以，從而有多項式和使得，所以

由假設，，因而。

表述2及證明

(歐幾里得引理)如果是素數且，則或。更一般地，如果素教整除乘積，則至少整除其中的一個因數。

證明概要：如果，則且。因此，是的倍數。第二個結論可對用歸納法證明。

表述3

如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積，第一個整數與第二個整數互質，那么第一個整數整除第三個整數。

或說：如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那么這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。