機率度量空間（probabilistic metric space，簡記為PM-空間），亦稱門傑機率度量空間，它是度量空間的一種重要推廣，是指度量空間把兩點間距離用一個統計量描述的一種空間。通常的度量取值於非負實數集，而機率度量取值於分布函式集。1942年，K.Menger提出PM-空間以來，一直進展很慢，直到20世紀60年代，B.Schwweizer、A.sklar等研究了其拓撲結構，才使得這一理論有了較快的發展，但仍有大量的問題有待研究。
基本介紹
- 中文名：機率度量空間
- 外文名：probabilistic metric space
- 別名：門傑機率度量空間，PM-空間
- 引入時間：1942年
- 最早提出者：門傑（Menger.K.）
- 套用學科：不動點理論
預備知識,t-範數,常用三角範數,定義,PM空間,PN空間,M-PM空間,拓撲結構,PM空間,M-PM空間,不動點定理,不動點定義,定理1,定理2,相關研究,
預備知識
t-範數
已知
，如果對
有：
（1）
；
（2）
；
（3）
當
時；
（4）
；
此時稱 為t-範數。
常用三角範數
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
。
定義
度量空間的概念首先EhM.Frechet於1906年引入。這一框架的特點在於對空間中任何兩點，都對應於一非負實勢，並稱這一數為該兩點的距離。毫無疑問，這種結構對許多問題來說是最為自然和最為適合的。但是，由於自然界許多量之間具有隨機性。例如，在測量中存在隨機誤差，又如在量子力學中，基本粒子本身可以看成一隨機變數，它們之間的距離就不能用一個確定的實數描述。因此，在許多情形，用一個統計量或用機率描述集合內兩點問的距離，比用一個非負實數更符合客觀實際。正是基於這種思想，早在四十年代K.Meager在他的工作中提出機率度量空間的概念。在Meager的理論中，就是用一個分布函式表示空間中兩點的距離。
機率度量空間（probabilistic metric space，簡記為PM-空間），亦稱門傑機率度量空間，它是度量空間的一種重要推廣，是指度量空間把兩點間距離用一個統計量描述的一種空間。通常的度量取值於非負實數集，而機率度量取值於分布函式集。
1942年，K.Menger提出PM-空間以來，一直進展很慢，直到20世紀60年代，B.Schwweizer、A.sklar等研究了其拓撲結構，才使得這一理論有了較快的發展，但仍有大量的問題有待研究。
PM空間
如果
（記
），且滿足條件：對
，有：
（1）
若且唯若
；
（2）
；
（3）
；
（4）若
，則
。
稱有序對
為機率度量空間。
注意1：其中
可理解為
之間的距離小於
的機率。
注意2：若
為度量空間，定義
，則
滿足上述（1）~（4）條件。
PN空間
（1）
若且唯若
；
（2）
；
（3）
；
（4）若
，則
。
則稱 為機率線性賦范度量空間，記為PN空間。
注意：令
，易得機率線性賦范度量空間為機率度量空間的特例。
M-PM空間
已知三元組
，如果滿足：
（1）
為一 PM空間 ；
（2）
為一個 t-範數（三角範數），滿足
；
則稱三元組 為 Menger 機率度量空間，記作M-PM空間。
拓撲結構
PM空間
命題1：設 為機率度量空間，定義
，則 d 是 E 上的度量，故
是度量空間。
命題2：設 為機率度量空間，且
取值於
，定義 ，
，則最任意給定的
，
為關於
的減函式，且有
。
命題3：設 為機率度量空間，還滿足條件
，當
，
時，有
，則有：
（1）對
是偽度量；
M-PM空間
設 為M-PM空間，則：
（1）當 取值於
時，按 為一度量空間；
（2）當 t-範數 滿足
時， 可度量化，且
為 E 上度量，其拓撲可由鄰域系
產生。
不動點定理
不動點定義
定理1
機率度量空間中每一個壓縮映射，至多有一個不動點。
定理2
設 為完備的 M-PM 空間，
滿足
，且
為壓縮映射，則下列兩個結論必具其一：
（1）
有唯一不動點；
（2）
。
相關研究
《機率度量空間中的一類非線性運算元方程的可解性》一文利用泛函在機率度量空間中引入半序，並利用此半序的方法研究了機率度量空間中的非線性運算元方程Lx=Ax的可解性問題，得到了幾個新的定理；同時推廣了若干重要定理。
《關於機率度量空間中若干非線性運算元問題的研究》一文主要研究了機率度量空間中的幾個非線性問題。機率度量空間中元素之間的距離是用分布函式來度量的，並且通常的度量空間都是機率度量空間的一個特殊情況，所以研究機率度量空間中的非線性運算元問題具有非常重要的意義。
