模糊集分解定理

模糊集分解定理是模糊集合論中的一個基本定理，它揭示了模糊集與水平集之間的內在聯繫，一個模糊集可以分解為一套(弱)水平集，並可用這套(弱)水平集來表示。

基本介紹

• 中文名：模糊集分解定理
• 外文名：decomposition theorem of fuzzy sets
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：模糊集合論
• 意義：揭示模糊集與水平集的內在聯繫

基本介紹

模糊集的分解定理有以下三種形式：

1.設A是X上的模糊集，則

其中A_α是A的α水平集，α*表示X上取常值α的模糊集。

2.設A是X上的模糊集，則

其中 是A的弱α水平集，α*的意義同上。

3.設A是X上的模糊集，P(X)表示X的所有分明子集組成的集合，如果映射 滿足 ，則

且 ，其中， 及α*的意義同上。

由於水平集具有保持模糊集的並、交等性質，所以模糊集的分解定理是研究模糊集性質的有力工具。

相關概念及定理

λ截集

定義1 設 ，記

稱 為A的A截集。

又記

稱 為A的λ強截集。

稱

為A的核，記為kerA。

稱

為A的支集，記為suppA(參見圖1)，稱suppA-kerA為A的邊界。

定理1 設 ，則截集有如下性質：

(1)

(2)

(3)

(4)若 ，則

(5)若 ，則

(6)

圖2 模糊集的截集、核與支集

數積(截積)

定義 設 ，λ與A的數積(截積)λA定義為

即λA仍為X上的模糊集(參見圖3)。

圖3