極值曲線

使泛函達到極值的變元函式稱為極值函式，若它為一元函式，通常稱為極值曲線。極值也稱為相對極值或局部極值。

基本介紹

• 中文名：極值曲線
• 外文名：extremum curve
• 適用範圍：數理科學

簡介

極值是變分法的一個基本概念。泛函在容許函式的一定範圍內取得的最大值或最小值，分別稱為極大值或極小值，統稱為極值。使泛函達到極值的變元函式稱為極值函式，若它為一元函式，通常稱為極值曲線。極值也稱為相對極值或局部極值。

歐拉方程的積分曲線

(Euler equation)

歐拉方程是泛函的極值函式滿足的微分方程，假設 F(x,y,y') 關於變元是二次可微的，函式且滿足邊界條件

那么泛函

取極值的必要條件是： 是微分方程

或

的解。這個方程稱為歐拉方程。

歐拉方程的積分曲線稱為極值曲線。對於形如

的泛函，它相應的歐拉方程為

式中

局部極值

設是歐氏空間中某一區域上的n元實函式，對於，若存在某個．使得所有，滿足，則稱為在R上的局部極小點(或稱相對極小點)，為局部極小值。若對於所有，且與的距離小於的，有，則稱為在R上的嚴格局部極小點，為嚴格局部極小值。

設是歐氏空間中某一區域上的n元實函式。若點對於所有，都有，則稱為在上的全局極小點，稱為全局極小值。若對於所有，且，都有則稱為在R上的嚴格全局極小點，為嚴格全局極小值。

對於極大點與極大值，不難仿上給出相應定義。