條件分布

對於二維隨機變數(X，Y)，可以考慮在其中一個隨機變數取得(可能的)固定值的條件下，另一隨機變數的機率分布，這樣得到的X或Y的機率分布叫做條件機率分布，簡稱條件分布。

基本介紹

• 中文名：條件分布
• 外文名：conditional distribution
• 研究對象：二維隨機變數
• 別名：條件機率分布
• 所屬學科：數學

定義

二維隨機向量 中， 與 的相互關係除了獨立以外，還有相依關係，即隨機變數的取值往往彼此是有影響的，這種關係用條件分布能更好地表達出來。

對於二維隨機向量 ，所謂隨機變數X的條件分布，就是在 的條件下X的分布函式。比如，記X為人的體重，Y為人的身高，則X與Y一般有相依關係，現在如果限定Y=172(cm)，在這個條件下體重X的分布顯然與X的無條件分布有很大不同。

設給定二維隨機向量 ，對任意 ，若 ,則

是一維分布函式，自然稱它為條件 下， 的條件分布函式。

離散隨機向量的條件分布

條件分布列

如果二維離散隨機向量 的聯合分布列為

仿照條件機率的定義，我們很容易地給出離散隨機向量的條件分布列。

定義1 對一切使得 的 ，稱

為在給定 條件下X的條件分布列。

同理，對一切使得 的 ，稱

為在給定 條件下Y的條件分布列。

條件分布函式

有了條件分布列，我們就可以定義離散隨機向量的條件分布。

定義2 在給定 條件下X的條件分布函式為

在給定 條件下Y的條件分布函式為

連續隨機向量的條件分布

條件分布函式與條件密度函式

設 為連續型隨機向量，聯合密度函式為 ，邊際分布函式分別為。

定義3 對於一切 的 ，在給定 條件下，X的條件分布函式和條件密度函式分別為

同理對於一切 的x，在給定 條件下，Y的條件分布函式和條件密度函式分別為

連續場合的全機率公式與貝葉斯公式

有了條件分布密度函式的機率，可以順便給出連續隨機變數場合的全機率公式和貝葉斯公式。

全機率公式

貝葉斯公式