根值審斂法

根值審斂法是判別級數斂散性的一種方法，由法國數學家柯西首先發現。

基本介紹

• 中文名：根值審斂法
• 外文名：Root test/ Cauchy root test/ Cauchy's radical test/Nth Root Test
• 別名：柯西判別法

陳述

設為一無窮級數，如果，（這裡也可以是複數，此時代表複數的模），則

時級數絕對收斂；

(包括) 時級數發散；

時級數可能收斂也可能發散。

證明

設，選取使得。對充分大的，時有，從而，。因為是無窮等比級數，所以收斂。由比較審斂法，知收斂。

若，則有一收斂子數列，。於是有無限多個的項大於1。但若要收斂，則數列的極限必須為0。因此，發散。

若，以p級數為例，因為，所以，又因為p級數當時收斂，時發散，所以可能收斂也可能發散。